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아론샤인 나무
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372,inf
== 존재성 == ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다. 가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합 [math(\Bbb{Q}^{<\omega_1})]을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면 [math((\Bbb{Q}^{<\omega_1},\subseteq))]는 나무가 된다. 하지만 이의 높이 [math(\omega)]인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다. 각 [math(\alpha)]에 대해 [math(T)]의 [math(\alpha)]번째 층 [math(T_\alpha)]를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다: [math(T_0=\{\varnothing\})]으로 두고, [math(T_\alpha)]가 주어졌을 때 [math(T_{\alpha+1})]을 위로 유계인 [math(s\in T_\alpha)]와 유리수 [math(q\ge\sup s)]에 대해 [math(s^\frown q)]꼴의 원소들의 집합이라 하자. 이제 [math(\alpha)]가 극한서수이고 각 [math(\beta<\alpha)]에 대해 [math(T_\beta)]가 주어졌다 하자. 우선 각 [math(T_\beta)]는 가산이고, 따라서 [math(\bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]는 가산이다. 각 [math(s\in \bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]와 유리수 [math(r>\sup s)]에 대해 [math(s\subset t)]이고 [math(\operatorname{dom} t=\alpha)], [math(\sup t\le r)]인 [math(t)]를 선택하자. 이제 [math(T_\alpha)]를 그러한 [math(t)]들의 집합으로 정의하자. 이제 [math(T=\bigcup_{\alpha<\omega_1}T_\alpha)]로 정의하면 [math(T)]는 아론샤인 나무이다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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== 존재성 == ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다. 가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합 [math(\Bbb{Q}^{<\omega_1})]을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면 [math((\Bbb{Q}^{<\omega_1},\subseteq))]는 나무가 된다. 하지만 이의 높이 [math(\omega)]인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다. 각 [math(\alpha)]에 대해 [math(T)]의 [math(\alpha)]번째 층 [math(T_\alpha)]를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다: [math(T_0=\{\varnothing\})]으로 두고, [math(T_\alpha)]가 주어졌을 때 [math(T_{\alpha+1})]을 위로 유계인 [math(s\in T_\alpha)]와 유리수 [math(q\ge\sup s)]에 대해 [math(s^\frown q)]꼴의 원소들의 집합이라 하자. 이제 [math(\alpha)]가 극한서수이고 각 [math(\beta<\alpha)]에 대해 [math(T_\beta)]가 주어졌다 하자. 우선 각 [math(T_\beta)]는 가산이고, 따라서 [math(\bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]는 가산이다. 각 [math(s\in \bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]와 유리수 [math(r>\sup s)]에 대해 [math(s\subset t)]이고 [math(\operatorname{dom} t=\alpha)], [math(\sup t\le r)]인 [math(t)]를 선택하자. 이제 [math(T_\alpha)]를 그러한 [math(t)]들의 집합으로 정의하자. 이제 [math(T=\bigcup_{\alpha<\omega_1}T_\alpha)]로 정의하면 [math(T)]는 아론샤인 나무이다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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