아벨의 합 공식 (편집)

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Abel's summation formula

아벨의 합 공식은 아벨이 개발한 공식이다. 주로 정수론에서 사용되며 부분적분의 이산적 형태라고 할 수 있다.

== 진술 ==
[math(a(n))]이 [[수론적 함수]]이고 [math(f)]가 미분가능한 함수라고 하자. [math(\displaystyle A(x)=\sum_{n\le x} a(n))]일 때
><math>\sum_{x<n\le y} a(n)f(n) = A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y A(t)f'(t)dt </math>
가 성립한다.

== 증명 ==
리만-스틸체스 적분을 사용하면 정말 간단하다. 직접 해보기를 바란다. 사용하지 않으면 다음과 같다.
><math>\begin{aligned}\sum_{y<n \leq x} a(n)f(n) &= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} (A(n)-A(n-1))f(n) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} A(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1} A(n)f(n+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(f(n)-f(n+1)) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(-\int_{n}^{n+1} f’(t)\ dt) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} \int_{n}^{n+1} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\int_{[y]+1}^{[x]} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int_y^x A(t)f’(t)\ dt\end{aligned}</math>

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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아벨의 합 공식은 아벨이 개발한 공식이다. 주로 정수론에서 사용되며 부분적분의 이산적 형태라고 할 수 있다.

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