아벨의 합 공식

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Abel's summation formula

아벨의 합 공식은 아벨이 개발한 공식이다. 주로 정수론에서 사용되며 부분적분의 이산적 형태라고 할 수 있다.

목차

1. 진술
2. 증명

1. 진술 _{✎ ⊖}

a(n)이 수론적 함수이고 f가 미분가능한 함수라고 하자. \\displaystyle A(x)=\\sum_{n\\le x} a(n)일 때

\\sum_{x<n\\le y} a(n)f(n) = A(y)f(y)-A(x)f(x)-\\int_x^y A(t)f'(t)dt

가 성립한다.

2. 증명 _{✎ ⊖}

리만-스틸체스 적분을 사용하면 정말 간단하다. 직접 해보기를 바란다. 사용하지 않으면 다음과 같다.

\\begin{aligned}\\sum_{y<n \\leq x} a(n)f(n) &= \\sum_{n=[y]+1}^{[x]} (A(n)-A(n-1))f(n) \\\\&= \\sum_{n=[y]+1}^{[x]} A(n)f(n)-\\sum_{n=[y]}^{[x]-1} A(n)f(n+1) \\\\&= \\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(f(n)-f(n+1)) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\\\&= \\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(-\\int_{n}^{n+1} f’(t)\\ dt) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\\\&= -\\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} \\int_{n}^{n+1} A(t)f’(t)\\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\\\&= -\\int_{[y]+1}^{[x]} A(t)f’(t)\\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\\\&= A(x)f(x)-A(y)f(y)-\\int_y^x A(t)f’(t)\\ dt\\end{aligned}

1. 진술 ✎ ⊖

2. 증명 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 증명 _{✎ ⊖}