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數論的函數 / Arithmetic function
자연수(1)에서 복소수로 가는 함수를 가리킨다.
1. 연산 ✎ ⊖
두 수론적 함수 f, g에 대하여 다음과 같은 연산들이 정의된다.
1.1. 사칙연산 ✎ ⊖
- (f+g)(n)=f(n)+g(n)
- (f-g)(n)=f(n)-g(n)
- (f \\times g)(n)=f(n) \\times g(n)
- (f/g)(n)=f(n)/g(n)
1.2. 디리클레 곱 ✎ ⊖
- (f*g)(n) := \\sum_{d \\mid n} f(d)g(\\frac{n}{d})
2. 성질 ✎ ⊖
2.1. 곱셈적 함수 ✎ ⊖
곱셈적, 또는 적법적 함수는 다음을 만족하는 수론적 함수 f를 말한다.
- f \\neq 0,\\ f(mn)=f(m)f(n)\\ \\text{if}\\ (m,n)=1
3. 예시 ✎ ⊖
- 항등 함수 N(n)=n
- 항등원 함수 I(n)=\\left[\\frac{1}{n}\\right]=\\begin{cases}1 & \\text{if}\\ n=1 \\\\ 0 & \\text{if}\\ n>1 \\end{cases}
- 단위 함수 u(n)=1\\ \\forall n
- 뫼비우스 함수 \\mu (n) = \\begin{cases}1 & \\text{if}\\ n=1 \\\\ (-1)^k & \\text{if}\\ 1<n=\\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i},\\ \\forall i\\ e_i=1 \\\\ 0 & \\text{otherwise}\\end{cases}
- 오일러 파이 함수 \\phi(n)=\\sum_{k<n,\\ (n,k)=1}1
- 망골트 함수 \\Lambda(n)=\\begin{cases} \\log p & \\text{if}\\ \\exists p,\\ m \\geq 1 \\text{ s.t. } n=p^m\\\\ 0 & \\text{otherwise} \\end{cases}
- 주어진 자연수 n의 약수의 개수 \\tau(n)=\\sum_{d \\mid n}1
- 주어진 자연수 n의 약수의 합 \\sigma(n)=\\sum_{d \\mid n}d
