폰 망골트 함수

망골트 함수 ➤ 폰 망골트 함수

Mangoldt's function, Von Mangoldt function,

\Lambda

수론적 함수 중 하나이다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합
2.1.1. 증명
2.2. 약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현
2.2.1. 증명
2.3. 체비셰프 함수와의 관계

1. 정의 _{✎ ⊖}

n \in \Bbb{N}

에 대하여,

\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{if } n=p^m \text{ for prime } p, m \in \Bbb N \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

로 정의한다.

n \in \Bbb{N}

에 대하여,

\log n=\sum_{d|n}\Lambda(d)

n=\prod_{i=1}^{k}p_k^{e_k}

라 하면

\sum_{d|n}\Lambda(d)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{e_i}\log{p_i}=\sum_{i=1}^{k}\log{p_i^{e_i}}=\log{n}.

n \in \Bbb{N}

에 대하여,

\Lambda(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\log{\frac{n}{d}}=-\sum_{d|n}\mu(d)\log(d)

위의 식에서 뫼비우스 반전 공식을 적용하면 된다.

정의에 의해 다음이 성립한다.

\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)

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