폰 망골트 함수

망골트 함수 ➤ 폰 망골트 함수

Mangoldt's function, Von Mangoldt function, \\Lambda

수론적 함수 중 하나이다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합
2.1.1. 증명
2.2. 약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현
2.2.1. 증명
2.3. 체비셰프 함수와의 관계

1. 정의 _{✎ ⊖}

n \\in \\Bbb{N}에 대하여,

\\Lambda(n)=\\begin{cases} \\log p & \\text{if } n=p^m \\text{ for prime } p, m \\in \\Bbb N \\\\ 0 & \\text{otherwise} \\end{cases}
로 정의한다.

2. 성질 _{✎ ⊖}

2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 _{✎ ⊖}

n \\in \\Bbb{N}에 대하여,

\\log n=\\sum_{d|n}\\Lambda(d)

2.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

n=\\prod_{i=1}^{k}p_k^{e_k}라 하면

\\sum_{d|n}\\Lambda(d)=\\sum_{i=1}^{k}\\sum_{j=1}^{e_i}\\log{p_i}=\\sum_{i=1}^{k}\\log{p_i^{e_i}}=\\log{n}.

2.2. 약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현 _{✎ ⊖}

n \\in \\Bbb{N}에 대하여,

\\Lambda(n)=\\sum_{d|n}\\mu(d)\\log{\\frac{n}{d}}=-\\sum_{d|n}\\mu(d)\\log(d)

2.2.1. 증명 _{✎ ⊖}

위의 식에서 뫼비우스 반전 공식을 적용하면 된다.

2.3. 체비셰프 함수와의 관계 _{✎ ⊖}

정의에 의해 다음이 성립한다.

\\psi(x)=\\sum_{1\\leq n\\leq x}\\Lambda(n)

1. 정의 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 ✎ ⊖

2.1.1. 증명 ✎ ⊖

2.2. 약수들에 대한 함숫값의 합으로의 표현 ✎ ⊖

2.2.1. 증명 ✎ ⊖

2.3. 체비셰프 함수와의 관계 ✎ ⊖