뫼비우스 뮤 함수

뫼비우스 함수 ➤ 뫼비우스 뮤 함수

Mobius μ-function, \\mu(n)

중요한 수론적 함수 중 하나이며, n의 소인수분해 결과에 따라 그 값이 결정된다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합
2.1.1. 증명
2.2. 뫼비우스 반전 공식

1. 정의 _{✎ ⊖}

자연수 n에 대해 \\mu(n)은 다음과 같이 정의된다.

\\mu (n) := \\begin{cases}1 & \\text{if}\\ n=1 \\\\ (-1)^k & \\text{if}\\ 1<n=\\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}\\text{ and } e_i=1 \\text{ for all }i\\\\ 0 & \\text{otherwise}\\end{cases}

2. 성질 _{✎ ⊖}

2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 _{✎ ⊖}

\\sum_{d \\mid n}\\mu(d) = \\left[\\frac{1}{n}\\right]=\\begin{cases}1 & \\text{if}\\ n=1 \\\\ 0 & \\text{if}\\ n>1\\end{cases}

여기서 \\mu=u^{-1}을 얻을 수 있다. 여기서 u는 u(n)=1인 단위함수이며, {}^{-1}은 디레클레 곱의 역원을 말한다.

2.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

n=1일 때는 자명. n \\geq 2일 때 n=\\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}로 소인수분해하면 d가 어떤 소수의 제곱으로 나누어 떨어질 때 \\mu(d)=0이므로

\\sum_{d \\mid n}\\mu(d)=\\mu(1)+\\sum_{p_1 \\mid n} \\mu(p_1)+\\sum_{p_1 \\mid n,\\ p_2 \\mid n,\\ p_1 \\neq p_2} \\mu(p_1p_2)+ \\cdots\\\\=1+\\binom{k}{1}(-1)+\\binom{k}{2}(-1)^2+ \\cdots +\\binom{k}{k}(-1)^k=(1-1)^k=0

2.2. 뫼비우스 반전 공식 _{✎ ⊖}

수론적 함수 f,g에 대하여

f(n)=\\sum_{d|n}g(d) \\Rightarrow g(n)=\\sum_{d|n}\\mu(d)f(\\frac{n}{d})

뫼비우스 뮤 함수

1. 정의 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 ✎ ⊖

2.1.1. 증명 ✎ ⊖

2.2. 뫼비우스 반전 공식 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

2.1. 약수들에 대한 함숫값의 합 _{✎ ⊖}

2.1.1. 증명 _{✎ ⊖}

2.2. 뫼비우스 반전 공식 _{✎ ⊖}