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뫼비우스 반전 공식

최근 수정 시각 : 2023-05-03 11:33:03 | 조회수 : 429
Mobius inversion formula

두 수론적 함수의 관계에 대한 공식이다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 일반화
4. 쌍대 뫼비우스 반전 공식
5. 영상

1. 진술 ✎ ⊖

수론적 함수 f,gf,g에 대하여 다음이 성립한다.

f(n)=∑d∣ng(d)  ⟺  g(n)=∑d∣nμ(d)f(nd)f(n)=\sum_{d|n}g(d) \iff g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})

2. 증명 ✎ ⊖

f=g∗uf=g*u이므로 g=f∗u−1=μ∗fg=f*u^{-1}=\mu*f이다. 디리클레 곱을 참고하라.

3. 일반화 ✎ ⊖

일반화된 반전 공식(Generalized inversion formula)는 역원이 존재하는 수론적 함수 α\alpha와 R+\Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1)(0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 F, GF,\ G에 대해 다음이 성립함을 말한다.

G(x)=∑n≤xα(n)F(xn)  ⟺  F(x)=∑n≤xα−1(n)G(xn)G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \alpha^{-1}(n)G(\frac{x}{n})

α\alpha가 완전 곱셈적일 경우 α−1=μα\alpha^{-1}=\mu\alpha이고, 따라서 성립하는 아래 식을 일반화된 뫼비우스 반전 공식(Generalized Möbius inversion formula)라고 한다.

G(x)=∑n≤xα(n)F(xn)  ⟺  F(x)=∑n≤xμ(n)α(n)G(xn)G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x} \mu(n)\alpha(n)G(\frac{x}{n})

4. 쌍대 뫼비우스 반전 공식 ✎ ⊖

쌍대 뫼비우스 반전 공식(Dual Möbius inversion formula)는 다음을 말한다.

D⊂ND \subset \Bbb N가 인수에 대해 닫혀있고(d∈D, d′∣d →d′∈Dd \in D,\ d' \mid d\ \rightarrow d' \in D), f,gf,g가 수론적 함수일 때,

f(n)=∑n∣d, d∈Dg(d)f(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} g(d) 와 g(n)=∑n∣d, d∈Dμ(dn)f(d)g(n)=\sum_{n \mid d,\ d \in D} \mu(\frac{d}{n})f(d) 는 동치이다.

(각 급수가 절대수렴할 때만을 생각한다.)

5. 영상 ✎ ⊖



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