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Mobius inversion formula
두 수론적 함수의 관계에 대한 공식이다.
1. 진술 ✎ ⊖
수론적 함수 f,g에 대하여 다음이 성립한다.
f(n)=\\sum_{d|n}g(d) \\iff g(n)=\\sum_{d|n}\\mu(d)f(\\frac{n}{d})
f(n)=\\sum_{d|n}g(d) \\iff g(n)=\\sum_{d|n}\\mu(d)f(\\frac{n}{d})
2. 증명 ✎ ⊖
3. 일반화 ✎ ⊖
일반화된 반전 공식(Generalized inversion formula)는 역원이 존재하는 수론적 함수 \\alpha와 \\Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 F,\\ G에 대해 다음이 성립함을 말한다.
G(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha(n)F(\\frac{x}{n}) \\iff F(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha^{-1}(n)G(\\frac{x}{n})
\\alpha가 완전 곱셈적일 경우 \\alpha^{-1}=\\mu\\alpha이고, 따라서 성립하는 아래 식을 일반화된 뫼비우스 반전 공식(Generalized Möbius inversion formula)라고 한다.
G(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha(n)F(\\frac{x}{n}) \\iff F(x)=\\sum_{n \\leq x} \\mu(n)\\alpha(n)G(\\frac{x}{n})
G(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha(n)F(\\frac{x}{n}) \\iff F(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha^{-1}(n)G(\\frac{x}{n})
\\alpha가 완전 곱셈적일 경우 \\alpha^{-1}=\\mu\\alpha이고, 따라서 성립하는 아래 식을 일반화된 뫼비우스 반전 공식(Generalized Möbius inversion formula)라고 한다.
G(x)=\\sum_{n \\leq x} \\alpha(n)F(\\frac{x}{n}) \\iff F(x)=\\sum_{n \\leq x} \\mu(n)\\alpha(n)G(\\frac{x}{n})
4. 쌍대 뫼비우스 반전 공식 ✎ ⊖
쌍대 뫼비우스 반전 공식(Dual Möbius inversion formula)는 다음을 말한다.
D \\subset \\Bbb N가 인수에 대해 닫혀있고(d \\in D,\\ d' \\mid d\\ \\rightarrow d' \\in D), f,g가 수론적 함수일 때,
f(n)=\\sum_{n \\mid d,\\ d \\in D} g(d) 와 g(n)=\\sum_{n \\mid d,\\ d \\in D} \\mu(\\frac{d}{n})f(d) 는 동치이다.
(각 급수가 절대수렴할 때만을 생각한다.)
D \\subset \\Bbb N가 인수에 대해 닫혀있고(d \\in D,\\ d' \\mid d\\ \\rightarrow d' \\in D), f,g가 수론적 함수일 때,
f(n)=\\sum_{n \\mid d,\\ d \\in D} g(d) 와 g(n)=\\sum_{n \\mid d,\\ d \\in D} \\mu(\\frac{d}{n})f(d) 는 동치이다.
(각 급수가 절대수렴할 때만을 생각한다.)
