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디리클레 합성곱

최근 수정 시각 : 2023-04-27 00:09:13 | 조회수 : 63
디리클레 곱 ➤ 디리클레 합성곱
Dirichlet product, Dirichlet multiplication, Dirichlet convolution

수론적 함수 사이에서 정의되는 이항연산이다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 결합법칙
2.2. 역원
2.2.1. 증명
2.2.2. 완전 곱셈적 함수의 역원
2.3. 뫼비우스 반전 공식
3. 일반화
3.1. 디리클레 곱과의 관계
3.2. 성질
3.2.1. 항등원
3.3. 일반화된 반전 공식

1. 정의 ✎ ⊖

두 수론적 함수 ff, gg에 대해 디리클레 곱 f∗gf*g은 다음과 같이 정의된다.

(f∗g)(n)=∑d∣nf(d)g(nd)(f*g)(n)=\sum_{d \mid n} f(d)g(\frac{n}{d})

2. 성질 ✎ ⊖

수론적 함수 ff, gg, hh에 대해 다음이 성립한다.
  • 교환법칙 : f∗g=g∗ff*g=g*f가 성립한다.
  • 결합법칙 : (f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f*g)*h=f*(g*h)가 성립한다.
  • 항등원 : I(n)={1if n=10if n>1I(n)=\begin{cases}1&\text{if}\ n=1\\0&\text{if}\ n>1\end{cases}이라고 하면 f∗I=I∗f=ff*I=I*f=f가 성립한다.
  • 역원 : f(1)≠0f(1)\neq0이면 f∗f−1=f−1∗f=If*f^{-1}=f^{-1}*f=I인 f−1f^{-1}이 존재한다.

이를 이용하면 f(1)≠0f(1)\neq0인 수론적 함수 ff들은 연산 ∗*에 대한 아벨 군을 형성한다는 것을 알 수 있다.

2.1. 결합법칙 ✎ ⊖

(f∗(g∗h))(n)=∑d∣nf(d)(g∗h)(nd)=∑d∣nf(d)∑k∣ndg(k)h(ndk)=∑d∣n∑k∣ndf(d)g(k)h(ndk)=∑abc=nf(a)g(b)h(c)=∑d∣n(∑k∣df(k)g(dk))h(nd)=((f∗g)∗h)(n)\begin{aligned} (f*(g*h))(n)&=\sum_{d \mid n}f(d)(g*h)(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{d \mid n}f(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}g(k)h(\frac{n}{dk})\\ &=\sum_{d \mid n}\sum_{k|\frac{n}{d}}f(d)g(k)h(\frac{n}{dk})\\ &=\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c)\\ &=\sum_{d \mid n}(\sum_{k \mid d}f(k)g(\frac{d}{k}))h(\frac{n}{d})\\ &=((f*g)*h)(n) \end{aligned}

따라서 결합법칙이 성립한다.

2.2. 역원 ✎ ⊖

수론적 함수 ff (f(1)≠0f(1) \not = 0)에 대하여 역원 f−1f^{-1}은 다음과 같은 식으로 표현된다.

f−1(1)=1f(1)f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)}
f−1(n)=−1f(1)∑d∣n, d<nf(nd)f−1(d), n>1f^{-1}(n)=-\frac{1}{f(1)} \sum_{d|n,\ d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d),\ n>1

2.2.1. 증명 ✎ ⊖

nn에 대한 수학적 귀납법을 사용한다. n=1n=1인 경우는 자명.

∀k<n\forall k<n에 대하여 f−1(k)f^{-1}(k)가 유일하게 존재한다고 가정하자. (f∗f−1)(n)=I(n)=0(f*f^{-1})(n)=I(n)=0에서

∑d∣nf(nd)f−1(d)=f(1)f−1(n)+∑d∣n,d<nf(nd)f−1(d)=0\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d)=f(1)f^{-1}(n)+\sum_{d|n,d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d)=0

이므로

f−1(n)=−1f(1)∑d∣n,d<nf(nd)f−1(d)f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\sum_{d|n,d<n}f(\frac{n}{d})f^{-1}(d)

따라서 원하는 식을 얻는다.

2.2.2. 완전 곱셈적 함수의 역원 ✎ ⊖

수론적 함수 ff가 완전 곱셈적일 때, ff의 역원 f−1f^{-1}는 μf\mu f와 같다. 즉

f−1(n)=μ(n)f(n)f^{-1}(n)=\mu(n)f(n)

이다. 증명은 디리클레 곱과 완전 곱셈적 함수의 정의에 의해 자명하다.

2.3. 뫼비우스 반전 공식 ✎ ⊖

수론적 함수 ff, gg에 대해 다음이 성립한다.

f(n)=∑d∣ng(n)  ⟺  g(n)=∑d∣nμ(d)g(nd)f(n)=\sum_{d \mid n}g(n) \iff g(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g(\frac{n}{d})

3. 일반화 ✎ ⊖

일반화된 합성곱(Generalized convolution)은 수론적 함수 α\alpha와 R+\Bbb R^+ 위에서 정의되어있고 (0,1)(0,1) 위에서 그 값이 0인 복소함수 FF에 대해 다음과 같이 정의되는 연산 ∘\circ이다.

(α∘F)(x)=∑n≤xα(n)F(xn)(\alpha \circ F)(x)=\sum_{n \leq x}\alpha(n)F(\frac{x}{n})

3.1. 디리클레 곱과의 관계 ✎ ⊖

FF가 정수 이외의 실수에서 0의 값을 가질 때, m∈Nm \in \Bbb N에 대해 다음이 성립한다,

(α∘F)(m)=(α∗F)(m)(\alpha \circ F)(m)=(\alpha * F)(m)

따라서 ∘\circ는 ∗*의 일반화로 볼 수 있다.

3.2. 성질 ✎ ⊖

∘\circ는 일반적으로 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않지만, ∗*과 함께 다음이 성립한다. 여기서 α, β\alpha,\ \beta는 수론적 함수이다.

α∘(β∘F)=(α∗β)∘F\alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha * \beta) \circ F

3.2.1. 항등원 ✎ ⊖

항등원 함수 I(n)=[1n]I(n)=\left[\frac{1}{n}\right]은 일반화된 합성곱에서의 좌항등원이다. 즉 다음이 성립한다.

I∘F=FI \circ F=F

3.3. 일반화된 반전 공식 ✎ ⊖

α\alpha의 역원 α−1\alpha^{-1}가 존재할 경우, 다음이 성립한다.

G(x)=∑n≤xα(n)F(xn)  ⟺  F(x)=∑n≤xα−1(n)G(xn)G(x)=\sum_{n \leq x} \alpha(n)F(\frac{x}{n}) \iff F(x)=\sum_{n \leq x}\alpha^{-1}(n)G(\frac{x}{n})

즉 G=α∘F  ⟺  F=α−1∘GG=\alpha \circ F \iff F=\alpha^{-1} \circ G이다.

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