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역원(逆元, Inverse element)은 집합의 원소를 이항연산한 결과가 항등원이 되는 집합의 원소이다. 역원은 집합의 각 원소에 대해 유일하게 존재해야 한다.
1. 정의 ✎ ⊖
S∗S→S 인 이항연산 (S,∗) 에 대하여 S의 항등원이 존재하고 그것을 e라고 하면, 임의의 한 a∈S에 대해
b_L(1)∗a=a∗b_R(2)=e
를 만족하는 유일한 b∈S를 S에서의 ∗에 대한 a의 역원이라고 한다.
b_L(1)∗a=a∗b_R(2)=e
를 만족하는 유일한 b∈S를 S에서의 ∗에 대한 a의 역원이라고 한다.
2. 예시 ✎ ⊖
- \\mathbb{C}의 +에 대한 a∈\\mathbb{C}의 역원은 −a이고, ×에 대한 역원은 \\frac{1}{a}=a^{-1}이다.
- 함수의 합성함수에 대한 역원은 역함수이다.
- 행렬의 곱셈에 대한 역원은 역행렬이다.
