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複素數 / Complex Number, \\mathbb{C}
실수체 \\mathbb{R}에 허수단위 i(=\\sqrt{-1})을 첨가함으로써 이루어지는 체의 원소로 실수와 허수로 이루어진다. 대수적 수 체계에서 가장 큰 수의 개념이다. 모든 복소수는 a+bi\\ (a,b\\in \\mathbb{R})로 나타낼 수 있으며 a를 실수부, b를 허수부라고 한다. 특히 bi 를 순허수라고 한다. 물론 a는 복소수이면서 실수이다.
1. 대수적 구조 ✎ ⊖
복소수의 집합은 체를 이룬다.
- 덧셈에 대한 항등원 : 0
- 곱셈에 대한 항등원 : 1
- z\\ (=a+bi)의 덧셈에 대한 역원 : -z\\ (=-a-bi)
- z\\ (=a+bi)의 곱셈에 대한 역원 : \\frac{1}{z}\\ (=\\frac{a-bi}{a^2+b^2})
2. 켤레복소수 ✎ ⊖
어떤 복소수 \\alpha=a+bi에 대하여 a-bi를 \\alpha의 켤레복소수라고 하며 \\overline{\\alpha} 로 나타낸다.
이러한 연산을 복소켤레라고 한다.
이러한 연산을 복소켤레라고 한다.
- \\alpha+\\overline{\\alpha} = 2a
- \\alpha\\overline{\\alpha} = a^2+b^2
- \\alpha가 실수이면 \\overline{\\alpha}=\\alpha
- 또다른 복소수 \\beta = c+di가 있으면 \\overline{\\alpha+\\beta}=\\overline{\\alpha}+\\overline{\\beta} 이며, 이는 곱셈, 나눗셈에도 동일하게 적용된다.
3. x^3=1 의 허근 ✎ ⊖
대한민국의 고등학교 교과서의 복소수 단원에는 x^3=1 또는 x^3=-1의 허근의 성질에 대해서 다루는 경우를 흔하게 볼 수 있다. 이 허근을 교과서나 문제집에서는 대부분 \\omega라고 표시한다. x^3=1의 성질은 다음과 같다.
- \\omega^3=1
- \\omega^2+\\omega+1=0
