복소수

최근 수정 시각 : 2023-05-10 18:14:44 | 조회수 : 415

複素數 / Complex Number, C\mathbb{C}

실수체 R\mathbb{R}에 허수단위 i(=1)i(=\sqrt{-1})을 첨가함으로써 이루어지는 체의 원소로 실수와 허수로 이루어진다. 대수적 수 체계에서 가장 큰 수의 개념이다. 모든 복소수는 a+bi (a,bR)a+bi\ (a,b\in \mathbb{R})로 나타낼 수 있으며 a를 실수부, b를 허수부라고 한다. 특히 bibi 를 순허수라고 한다. 물론 aa는 복소수이면서 실수이다.

목차

1. 대수적 구조
2. 켤레복소수
3. x^3=1 의 허근
4. 보기
5. 영상

1. 대수적 구조

복소수의 집합은 를 이룬다.
  • 덧셈에 대한 항등원 : 0
  • 곱셈에 대한 항등원 : 1
  • z (=a+bi)z\ (=a+bi)의 덧셈에 대한 역원 : z (=abi)-z\ (=-a-bi)
  • z (=a+bi)z\ (=a+bi)의 곱셈에 대한 역원 : 1z (=abia2+b2)\frac{1}{z}\ (=\frac{a-bi}{a^2+b^2})

2. 켤레복소수

어떤 복소수 α=a+bi\alpha=a+bi에 대하여 abia-biα\alpha의 켤레복소수라고 하며 α\overline{\alpha} 로 나타낸다.
이러한 연산을 복소켤레라고 한다.
  • α+α=2a\alpha+\overline{\alpha} = 2a
  • αα=a2+b2\alpha\overline{\alpha} = a^2+b^2
  • α\alpha가 실수이면 α=α\overline{\alpha}=\alpha
  • 또다른 복소수 β=c+di\beta = c+di가 있으면 α+β=α+β\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta} 이며, 이는 곱셈, 나눗셈에도 동일하게 적용된다.

3. x3=1x^3=1 의 허근

대한민국의 고등학교 교과서의 복소수 단원에는 x3=1x^3=1 또는 x3=1x^3=-1의 허근의 성질에 대해서 다루는 경우를 흔하게 볼 수 있다. 이 허근을 교과서나 문제집에서는 대부분 ω\omega라고 표시한다. x3=1x^3=1의 성질은 다음과 같다.
  • ω3=1\omega^3=1
  • ω2+ω+1=0\omega^2+\omega+1=0

4. 보기

5. 영상



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