복소평면

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複素平面, Complex number plane

복소수를 기하학적으로 해석할 수 있도록 고안된 좌표평면을 말한다. 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 두 복소수는 복소평면 상에서 기하학적으로 벡터처럼 더해진다.

목차

1. 표현
2. 성질
3. 영상

1. 표현 _{✎ ⊖}

복소수 \\mathrm{z}=a+bi\\ (a, b\\in \\mathbb{R})에 대해 복소평면에서 a를 나타내는 축을 \\mathrm{Re}(실수부), b를 나타내는 축을 \\mathrm{Im}(허수부)라고 하며 이 수는 \\mathrm{z}(a, b)로 표현된다. 따라서 이 수의 켤레복소수는 자명하게 \\overline{\\mathrm{z}}(a, -b)가 된다. a, b는 실수이므로 모든 복소수는 복소평면의 점들과 대응한다.

복소수 z=a+bi를 복소평면에 나타냈을 때, 원점에서의 거리 r = \\sqrt{a^2+b^2}를 그 복소수의 절댓값 또는 모듈러스(Modulus)라고 하며 |z|로 쓴다. 복소평면에 대응된 이 복소수를 극좌표를 이용하면

z(|z|\\cos\\varphi, |z|\\sin\\varphi)

로 쓸 수 있으므로

z=|z|(\\cos\\varphi+i\\sin\\varphi)

이다. 이를 복소수의 극형식(Polar Form)이라고 한다. 오일러의 공식을 이용하면 이는

z=|z|e^{i\\varphi}

가 된다. 여기서 \\mathrm{Re}축과 원점에서 복소수를 긋는 직선 사이의 각인 \\varphi(=\\arctan \\frac{b}{a})를 z의 편각이라고 하며 \\arg{(z)}로 쓴다. 특별히 (-\\pi, \\pi]의 편각은 주편각이라고 하며 \\mathrm{Arg}(z)로 쓴다.

2. 성질 _{✎ ⊖}

\\displaystyle |z|^2 = z \\cdot \\overline{z}
a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)
\\displaystyle \\arg(z_1\\cdot z_2) = \\arg(z_1) + \\arg(z_2)
\\displaystyle z_1 \\cdot z_2 = |z_1|(\\cos\\varphi_1+i\\sin\\varphi_1)|z_2|(\\cos\\varphi_2+i\\sin\\varphi_2)\\\\\\displaystyle = |z_1||z_2|((\\cos\\varphi_1 \\cos\\varphi_2 - \\sin\\varphi_1 \\sin\\varphi_2)+i(\\sin\\varphi_1 \\cos\\varphi_2 + \\cos\\varphi_1 \\sin\\varphi_2))\\\\\\displaystyle =|z_1||z_2|(\\cos(\\varphi_1 + \\varphi_2)+i\\sin(\\varphi_1 + \\varphi_2))
\\displaystyle \\arg(\\frac{z_1}{z_2}) = \\arg(z_1) - \\arg(z_2)
\\displaystyle \\frac{z_1}{z_2} = \\frac{|z_1|(\\cos\\varphi_1+i\\sin\\varphi_1)(\\cos\\varphi_2-i\\sin\\varphi_2)}{|z_2|}\\\\\\displaystyle =\\frac{|z_1|}{|z_2|}((\\cos \\varphi_1 \\cos \\varphi_2 + \\sin \\varphi_1 \\sin \\varphi_2)+i(\\sin \\varphi_1 \\cos \\varphi_2 - \\cos \\varphi_1 \\sin \\varphi_2))\\\\\\displaystyle =\\frac{|z_1|}{|z_2|}(\\cos(\\varphi_1 - \\varphi_2)+i\\sin(\\varphi_1 - \\varphi_2))
\\displaystyle z^n = |z|^n(\\cos n\\varphi+i\\sin n\\varphi) (드 무아브르의 공식)
z^n=k의 해는 복소평면에서 정 n각형을 이룬다.
\\displaystyle |z_1+z_2+\\cdots+z_n|≤|z_1|+|z_2|+\\cdots+|z_n| (삼각형 부등식)

1. 표현 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖

1. 표현 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}