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아벨의 합 공식
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(편집 필터 규칙)
307,inf
== 증명 == 리만-스틸체스 적분을 사용하면 정말 간단하다. 직접 해보기를 바란다. 사용하지 않으면 다음과 같다. ><math>\begin{aligned}\sum_{y<n \leq x} a(n)f(n) &= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} (A(n)-A(n-1))f(n) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} A(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1} A(n)f(n+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(f(n)-f(n+1)) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(-\int_{n}^{n+1} f’(t)\ dt) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} \int_{n}^{n+1} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\int_{[y]+1}^{[x]} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int_y^x A(t)f’(t)\ dt\end{aligned}</math> [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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== 증명 == 리만-스틸체스 적분을 사용하면 정말 간단하다. 직접 해보기를 바란다. 사용하지 않으면 다음과 같다. ><math>\begin{aligned}\sum_{y<n \leq x} a(n)f(n) &= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} (A(n)-A(n-1))f(n) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} A(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1} A(n)f(n+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(f(n)-f(n+1)) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(-\int_{n}^{n+1} f’(t)\ dt) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} \int_{n}^{n+1} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\int_{[y]+1}^{[x]} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int_y^x A(t)f’(t)\ dt\end{aligned}</math> [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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