아이젠슈타인 판정법 (편집)

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Eisenstein's criterion

[[정수]] 계수 [[다항식]]의 기약성을 판정할 수 있는 충분조건이다.

== 진술 ==
정수 계수 다항식 [math(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0)]에 대해 소수 [math(p)]가 존재하여 [math(a_n)]을 제외한 모든 계수가 [math(p)]에 의해 나누어지고 상수항 [math(a_0)]이 [math(p^2)]으로 나누어떨이지지 않으면 [math(f(x))]는 기약이다.

== 증명 ==
정수 계수 다항식 [math(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0)]의 계수들 [math(a_n, a_{n-1},\cdots ,a_0)]의 최대공약수를 [math(f(x))]의 '''내용'''(content)이라고 정의하고, 내용이 1인 정수 계수 다항식을 '''원시 다항식'''(primitive polynomial)이라고 하자. 다음의 두 명제가 성립한다.

=== 가우스의 보조정리 1 ===
두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다.

==== 증명 ====
두 원시 다항식 [math(f(x))], [math(g(x))]의 곱  [math(f(x)g(x))]가 원시 다항식이 아니라고 가정하자. [math(p)]를 [math(f(x)g(x))]의 내용의 한 소인수라고 하면, [math(f(x)g(x))]의 법 [math(p)]에 관한 축소 [math(\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0)]이고 [math((Z/pZ)[x])]는 [[정역]]이므로 [math(\bar{f}(x)=0)] 또는 [math(\bar{g}(x)=0)]이다. 그런데 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 내용은 1이므로 모순이고, 따라서 가정은 거짓이다. ■

이는 가우스의 <산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)> 제2장 제42조에 나오는 내용이다.

=== 가우스의 보조정리 2 ===
정수 계수 다항식 [math(f(x))]가 유리수 위에서 가약(reducible)이면 정수 위에서 가약(reducible)이다. 혹은  [math(f(x))]가 정수 위에서 기약(irreducible)이면 유리수 위에서 기약(irreducible)이다.

==== 증명 ====
[math(f(x)=g(x)h(x))][* [math(g(x))], [math(h(x))]는 유리 계수 다항식]라고 가정하자. 양변을 [math(f(x))]의 내용으로 나눌 수 있으므로 일반성을 잃지 않고 [math(f(x))]는 원시 다항식이라고 가정할 수 있다. 양변을 [math(g(x))]의 계수들의 최소공배수 [math(a)]와 [math(h(x))]의 계수들의 최소공배수 [math(b)]의 곱 [math(ab)]로 곱하면 [math(abf(x)=ag(x)\cdot bh(x))]에서 [math(ag(x))]과 [math(bh(x))]는 정수 계수 다항식이 된다. [math(ag(x))]과 [math(bh(x))]의 내용을 각각 [math(c)], [math(d)]라고 하면 [math(ag(x)=cg_1(x))], [math(bh(x)=dh_1(x))]인 원시 다항식 [math(g_1(x))], [math(h_1(x))]이 존재하고, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이므로 [math(abf(x)=cdg_1(x)h_1(x))]에서 [math(f(x)=g_1(x)h_1(x))]임을 알 수 있다. 따라서 [math(f(x))]는 정수 위에서 기약이다. ■

=== 증명 ===
[math(f(x))]가 유리수 위에서 가약이면 가우스의 두번째 보조 정리에 따라 정수 위에서도 가약이므로 [math(f(x)=g(x)h(x))]인 차수가 [math(r)], [math(s)]([math(1\leq r, s<n)])인 정수 계수 다항식 [math(g(x))], [math(h(x))]가 존재한다. [math(g(x)=b_rx^r+b_{r-1}x^{r−1}+\cdots +b_0)], [math(h(x)=c_sx^s+c_{s-1}x^{s−1}+\cdots +c_0)]이라고 하면 [math(a_0=b_0c_0)]은 [math(p)]의 배수지만 [math(p^2)]의 배수는 아니므로 [math(p)]는 [math(b_0)]와 [math(c_0)] 중 하나만을 나눈다. 일반성을 잃지 않고 [math(p)]가 [math(b_0)]만을 나눈다고 가정하자. [math(p\nmid b_k)]를 만족하는 정수 [math(k)] 중 최소인 것을 [math(m)]이라고 하면, [math(a_m=b_mc_0+b_{m-1}c_1+\cdots +b_0c_m)]에서 [math(a_m)]과 [math(b_{m-1},\cdots ,b_0)]이 [math(p)]의 배수이므로 [math(b_mc_0)] 역시 [math(p)]의 배수가 되어야 하지만 [math(b_m)]와 [math(c_0)]는 모두 [math(p)]의 배수가 아니므로 이는 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 기약이다. ■

== 아이젠슈타인 다항식과 정수 기저 ==
정수 계수 다항식 [math(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0)]에 대해 [math(a_n)]을 제외한 모든 계수가 어떤 소수 [math(p)]에 의해 나누어지고 상수항 [math(a_0)]이 [math(p^2)]으로 나누어떨이지지 않으면 [math(f(x))]를 [math(p)]에 관한 '''아이젠슈타인 다항식'''(Eisenstein polynomial)이라고 한다.

차수가 [math(n)]인 [math(n)]차 수체 [math(K)]의 원소 [math(\alpha)]의 최소 다항식 [math(f(x))]가 [math(p)]에 관한 아이젠슈타인 다항식이면 [math(p)]는 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나누지 않는다.

=== 증명 ===
[math(p)]가 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나눈다고 가정하면 [[군론에서 코시의 정리|코시의 정리]]에 따라 위수가 [math(p)]인 [math(\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha])]의 원소 [math(\beta +\mathbb Z[\alpha])][* [math(p\beta \in \mathbb Z[\alpha])], [math(\beta \notin \mathbb Z[\alpha])]]가 존재한다. [math(p\beta=b_0+b_1\alpha+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1})]이라 하고 [math(p\nmid b_m)]을 만족하는 최소의 정수를 [math(m)]이라 하자. 그러면 [math((b_m\alpha ^m+b_{m+1}\alpha ^{m+1}+\cdots +b_n\alpha ^n)/p)]은 [math(\mathcal O_K)]의 원소이고, 따라서 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p+\alpha ^n/p(b_{m+1}+b_{m+2}\alpha +\cdots +b_n\alpha ^{n-m-2}))]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소인데, [math(f(x))]가 [math(p)]에 관한 아이젠슈타인 다항식이므로 [math(\alpha ^n/p=-(a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})/p)]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소가 되어 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p)] 역시 [math(\mathcal O_K)]의 원소이다. 그런데 [math(p\nmid b_m)], [math(p^2\nmid a_0)]에서 [math(N(b_m\alpha ^{n-1}/p)=b_m^na_0^{n-1}/p^n\notin \mathbb Z)]이므로 모순이다. 따라서 [math(p)]는 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나누지 않는다. ■

== 영상 ==
[youtube(WeDWEbbUc1k)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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