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아이젠슈타인 판정법

최근 수정 시각 : 2024-10-29 06:31:10 | 조회수 : 26
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Eisenstein's criterion

정수 계수 다항식의 기약성을 판정할 수 있는 충분조건이다.

목차

1. 진술
2. 증명
2.1. 가우스의 보조정리 1
2.1.1. 증명
2.2. 가우스의 보조정리 2
2.2.1. 증명
2.3. 증명
3. 아이젠슈타인 다항식과 정수 기저
3.1. 증명
4. 영상

1. 진술 ✎ ⊖

정수 계수 다항식 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0에 대해 소수 pp가 존재하여 ana_n을 제외한 모든 계수가 pp에 의해 나누어지고 상수항 a0a_0이 p2p^2으로 나누어떨이지지 않으면 f(x)f(x)는 기약이다.

2. 증명 ✎ ⊖

정수 계수 다항식 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0의 계수들 an,an−1,⋯ ,a0a_n, a_{n-1},\cdots ,a_0의 최대공약수를 f(x)f(x)의 내용(content)이라고 정의하고, 내용이 1인 정수 계수 다항식을 원시 다항식(primitive polynomial)이라고 하자. 다음의 두 명제가 성립한다.

2.1. 가우스의 보조정리 1 ✎ ⊖

두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다.

2.1.1. 증명 ✎ ⊖

두 원시 다항식 f(x)f(x), g(x)g(x)의 곱 f(x)g(x)f(x)g(x)가 원시 다항식이 아니라고 가정하자. pp를 f(x)g(x)f(x)g(x)의 내용의 한 소인수라고 하면, f(x)g(x)f(x)g(x)의 법 pp에 관한 축소 fˉ(x)gˉ(x)=0\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0이고 (Z/pZ)[x](Z/pZ)[x]는 정역이므로 fˉ(x)=0\bar{f}(x)=0 또는 gˉ(x)=0\bar{g}(x)=0이다. 그런데 f(x)f(x)와 g(x)g(x)의 내용은 1이므로 모순이고, 따라서 가정은 거짓이다. ■

이는 가우스의 <산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)> 제2장 제42조에 나오는 내용이다.

2.2. 가우스의 보조정리 2 ✎ ⊖

정수 계수 다항식 f(x)f(x)가 유리수 위에서 가약(reducible)이면 정수 위에서 가약(reducible)이다. 혹은 f(x)f(x)가 정수 위에서 기약(irreducible)이면 유리수 위에서 기약(irreducible)이다.

2.2.1. 증명 ✎ ⊖

f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)(1)라고 가정하자. 양변을 f(x)f(x)의 내용으로 나눌 수 있으므로 일반성을 잃지 않고 f(x)f(x)는 원시 다항식이라고 가정할 수 있다. 양변을 g(x)g(x)의 계수들의 최소공배수 aa와 h(x)h(x)의 계수들의 최소공배수 bb의 곱 abab로 곱하면 abf(x)=ag(x)⋅bh(x)abf(x)=ag(x)\cdot bh(x)에서 ag(x)ag(x)과 bh(x)bh(x)는 정수 계수 다항식이 된다. ag(x)ag(x)과 bh(x)bh(x)의 내용을 각각 cc, dd라고 하면 ag(x)=cg1(x)ag(x)=cg_1(x), bh(x)=dh1(x)bh(x)=dh_1(x)인 원시 다항식 g1(x)g_1(x), h1(x)h_1(x)이 존재하고, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이므로 abf(x)=cdg1(x)h1(x)abf(x)=cdg_1(x)h_1(x)에서 f(x)=g1(x)h1(x)f(x)=g_1(x)h_1(x)임을 알 수 있다. 따라서 f(x)f(x)는 정수 위에서 기약이다. ■

2.3. 증명 ✎ ⊖

f(x)f(x)가 유리수 위에서 가약이면 가우스의 두번째 보조 정리에 따라 정수 위에서도 가약이므로 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)인 차수가 rr, ss(1≤r,s<n1\leq r, s<n)인 정수 계수 다항식 g(x)g(x), h(x)h(x)가 존재한다. g(x)=brxr+br−1xr−1+⋯+b0g(x)=b_rx^r+b_{r-1}x^{r−1}+\cdots +b_0, h(x)=csxs+cs−1xs−1+⋯+c0h(x)=c_sx^s+c_{s-1}x^{s−1}+\cdots +c_0이라고 하면 a0=b0c0a_0=b_0c_0은 pp의 배수지만 p2p^2의 배수는 아니므로 pp는 b0b_0와 c0c_0 중 하나만을 나눈다. 일반성을 잃지 않고 pp가 b0b_0만을 나눈다고 가정하자. p∤bkp\nmid b_k를 만족하는 정수 kk 중 최소인 것을 mm이라고 하면, am=bmc0+bm−1c1+⋯+b0cma_m=b_mc_0+b_{m-1}c_1+\cdots +b_0c_m에서 ama_m과 bm−1,⋯ ,b0b_{m-1},\cdots ,b_0이 pp의 배수이므로 bmc0b_mc_0 역시 pp의 배수가 되어야 하지만 bmb_m와 c0c_0는 모두 pp의 배수가 아니므로 이는 모순이다. 따라서 f(x)f(x)는 기약이다. ■

3. 아이젠슈타인 다항식과 정수 기저 ✎ ⊖

정수 계수 다항식 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0에 대해 ana_n을 제외한 모든 계수가 어떤 소수 pp에 의해 나누어지고 상수항 a0a_0이 p2p^2으로 나누어떨이지지 않으면 f(x)f(x)를 pp에 관한 아이젠슈타인 다항식(Eisenstein polynomial)이라고 한다.

차수가 nn인 nn차 수체 KK의 원소 α\alpha의 최소 다항식 f(x)f(x)가 pp에 관한 아이젠슈타인 다항식이면 pp는 ∣OK/Z[α]∣|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나누지 않는다.

3.1. 증명 ✎ ⊖

pp가 ∣OK/Z[α]∣|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나눈다고 가정하면 코시의 정리에 따라 위수가 pp인 OK/Z[α]\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]의 원소 β+Z[α]\beta +\mathbb Z[\alpha](2)가 존재한다. pβ=b0+b1α+⋯+bn−1αn−1p\beta=b_0+b_1\alpha+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1}이라 하고 p∤bmp\nmid b_m을 만족하는 최소의 정수를 mm이라 하자. 그러면 (bmαm+bm+1αm+1+⋯+bnαn)/p(b_m\alpha ^m+b_{m+1}\alpha ^{m+1}+\cdots +b_n\alpha ^n)/p은 OK\mathcal O_K의 원소이고, 따라서 bmαn−1/p+αn/p(bm+1+bm+2α+⋯+bnαn−m−2)b_m\alpha ^{n-1}/p+\alpha ^n/p(b_{m+1}+b_{m+2}\alpha +\cdots +b_n\alpha ^{n-m-2})도 OK\mathcal O_K의 원소인데, f(x)f(x)가 pp에 관한 아이젠슈타인 다항식이므로 αn/p=−(a0+a1α+⋯+an−1αn−1)/p\alpha ^n/p=-(a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})/p도 OK\mathcal O_K의 원소가 되어 bmαn−1/pb_m\alpha ^{n-1}/p 역시 OK\mathcal O_K의 원소이다. 그런데 p∤bmp\nmid b_m, p2∤a0p^2\nmid a_0에서 N(bmαn−1/p)=bmna0n−1/pn∉ZN(b_m\alpha ^{n-1}/p)=b_m^na_0^{n-1}/p^n\notin \mathbb Z이므로 모순이다. 따라서 pp는 ∣OK/Z[α]∣|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나누지 않는다. ■

4. 영상 ✎ ⊖



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(1) g(x)g(x), h(x)h(x)는 유리 계수 다항식
(2) pβ∈Z[α]p\beta \in \mathbb Z[\alpha], β∉Z[α]\beta \notin \mathbb Z[\alpha]