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Cauchy's theorem
군론의 정리 중 하나로 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.
1. 진술 ✎ ⊖
가 유한군이고 소수 가 의 위수의 약수라면 는 위수가 인 원소를 갖는다.
2. 증명 ✎ ⊖
2.1. 가 아벨군인 경우 ✎ ⊖
수학적 귀납법을 사용하자.
일 경우 자명하다. 가 3 이상일 때, 위수가 보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자.
의 임의의 원소 의 위수 가 소수가 아니면 ()]q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, 가 되므로 는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.
일반성을 잃지않고 를 위수가 (는 소수)인 의 원소라고 하자.
이면 는 위수가 인 원소를 갖는다.
일 경우, 의 위수는 이고 는 보다 작으므로 가정에 따라 는 위수가 인 원소 (는 의 원소)를 갖는다.
의 위수를 이라고 하면 이므로 는 의 약수이고, 이라고 하면 이므로 는 위수가 인 원소를 갖는다.
일 경우 자명하다. 가 3 이상일 때, 위수가 보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자.
의 임의의 원소 의 위수 가 소수가 아니면 ()]q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, 가 되므로 는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.
일반성을 잃지않고 를 위수가 (는 소수)인 의 원소라고 하자.
이면 는 위수가 인 원소를 갖는다.
일 경우, 의 위수는 이고 는 보다 작으므로 가정에 따라 는 위수가 인 원소 (는 의 원소)를 갖는다.
의 위수를 이라고 하면 이므로 는 의 약수이고, 이라고 하면 이므로 는 위수가 인 원소를 갖는다.
2.2. 일반적인 경우 ✎ ⊖
다음과 같은 집합 )]S)]를 고려하자:
이 때 의 원소는 만으로 결정되므로, 이다.
이제 위의 작용 를
로 정의하자.
이 때 를 의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, 가 된다.
, , 를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때,
이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 이다. 또한 이므로, 이다.
그런데 이다. 따라서 여야 한다.
그러므로 어느 가 있어 이다.
.
이 때 의 원소는 만으로 결정되므로, 이다.
이제 위의 작용 를
로 정의하자.
이 때 를 의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, 가 된다.
, , 를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때,
이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 이다. 또한 이므로, 이다.
그런데 이다. 따라서 여야 한다.
그러므로 어느 가 있어 이다.