군론에서 코시의 정리

최근 수정 시각 : 2024-10-29 06:24:35 | 조회수 : 39

Cauchy's theorem

군론의 정리 중 하나로 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.

목차

1. 진술
2. 증명
2.1. G가 아벨군인 경우
2.2. 일반적인 경우
3. 영상

1. 진술

GG가 유한군이고 소수 ppGG의 위수의 약수라면 GG는 위수가 pp인 원소를 갖는다.

2. 증명

2.1. GG가 아벨군인 경우

수학적 귀납법을 사용하자.

G=2|G|=2일 경우 자명하다. G|G|가 3 이상일 때, 위수가 G|G|보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자.

GG의 임의의 원소 xx의 위수 x=a|x|=a가 소수가 아니면 a=qba=qb()]q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, xb=q|x^b|=q가 되므로 GG는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.

일반성을 잃지않고 xx를 위수가 qq(qq는 소수)인 GG의 원소라고 하자.

q=pq=p이면 GG는 위수가 pp인 원소를 갖는다.

qpq\ne p일 경우, H=G/xH=G/\langle x\rangle의 위수는 G/q|G|/q이고 G/q|G|/qG|G|보다 작으므로 가정에 따라 HH는 위수가 pp인 원소 yxy\langle x\rangle(yyGG의 원소)를 갖는다.

yy의 위수를 mm이라고 하면 (yx)m=x(y\langle x\rangle)^m=\langle x\rangle이므로 ppmm의 약수이고, m=pnm=pn이라고 하면 yn=p|y^n|=p이므로 GG는 위수가 pp인 원소를 갖는다.

2.2. 일반적인 경우

다음과 같은 집합 )]S)]를 고려하자:
S={(g1,,gn):g1g2gn=e}S=\{(g_1,\cdots,g_n) : g_1g_2\cdots g_n=e\}.

이 때 SS의 원소는 g1,,gn1g_1,\cdots,g_{n-1}만으로 결정되므로, S=Gn1|S|=|G|^{n-1}이다.
이제 SS 위의 작용 α:(Z/pZ)×SS\alpha: (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\times S\to S
α(k,(g1,,gn))=(gk+1,,gn,g1,,gk)\alpha(k,(g_1,\cdots,g_n)) = (g_{k+1},\cdots,g_n,g_1,\cdots,g_k)

로 정의하자.
이 때 S0SS_0\subset SZ/pZ\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, S0={(a,a,,a)Gp:ap=e}S_0=\{(a,a,\cdots,a)\in G^p : a^p=e\}가 된다.
Gx1Gx_1, \cdots, GxkGx_k를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때,
S=S0+i=1kGxi|S| = |S_0| + \sum_{i=1}^k |Gx_i|

이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 Gxi=p|Gx_i|=p이다. 또한 pSp\mid |S|이므로, pS0p\mid |S_0|이다.
그런데 (e,e,,e)S0(e,e,\cdots,e)\in S_0이다. 따라서 S0p|S_0|\ge p여야 한다.
그러므로 어느 aea\neq e가 있어 ap=ea^p=e이다.

3. 영상



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