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Cauchy's theorem
군론의 정리 중 하나로 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.
1. 진술 ✎ ⊖
G가 유한군이고 소수 p가 G의 위수의 약수라면 G는 위수가 p인 원소를 갖는다.
2. 증명 ✎ ⊖
2.1. G가 아벨군인 경우 ✎ ⊖
수학적 귀납법을 사용하자.
|G|=2일 경우 자명하다. |G|가 3 이상일 때, 위수가 |G|보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자.
G의 임의의 원소 x의 위수 |x|=a가 소수가 아니면 a=qb()]q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, |x^b|=q가 되므로 G는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.
일반성을 잃지않고 x를 위수가 q(q는 소수)인 G의 원소라고 하자.
q=p이면 G는 위수가 p인 원소를 갖는다.
q\\ne p일 경우, H=G/\\langle x\\rangle의 위수는 |G|/q이고 |G|/q는 |G|보다 작으므로 가정에 따라 H는 위수가 p인 원소 y\\langle x\\rangle(y는 G의 원소)를 갖는다.
y의 위수를 m이라고 하면 (y\\langle x\\rangle)^m=\\langle x\\rangle이므로 p는 m의 약수이고, m=pn이라고 하면 |y^n|=p이므로 G는 위수가 p인 원소를 갖는다.
|G|=2일 경우 자명하다. |G|가 3 이상일 때, 위수가 |G|보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자.
G의 임의의 원소 x의 위수 |x|=a가 소수가 아니면 a=qb()]q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, |x^b|=q가 되므로 G는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.
일반성을 잃지않고 x를 위수가 q(q는 소수)인 G의 원소라고 하자.
q=p이면 G는 위수가 p인 원소를 갖는다.
q\\ne p일 경우, H=G/\\langle x\\rangle의 위수는 |G|/q이고 |G|/q는 |G|보다 작으므로 가정에 따라 H는 위수가 p인 원소 y\\langle x\\rangle(y는 G의 원소)를 갖는다.
y의 위수를 m이라고 하면 (y\\langle x\\rangle)^m=\\langle x\\rangle이므로 p는 m의 약수이고, m=pn이라고 하면 |y^n|=p이므로 G는 위수가 p인 원소를 갖는다.
2.2. 일반적인 경우 ✎ ⊖
다음과 같은 집합 )]S)]를 고려하자:
이 때 S의 원소는 g_1,\\cdots,g_{n-1}만으로 결정되므로, |S|=|G|^{n-1}이다.
이제 S 위의 작용 \\alpha: (\\Bbb{Z}/p\\Bbb{Z})\\times S\\to S를
로 정의하자.
이 때 S_0\\subset S를 \\Bbb{Z}/p\\Bbb{Z}의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, S_0=\\{(a,a,\\cdots,a)\\in G^p : a^p=e\\}가 된다.
Gx_1, \\cdots, Gx_k를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때,
이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 |Gx_i|=p이다. 또한 p\\mid |S|이므로, p\\mid |S_0|이다.
그런데 (e,e,\\cdots,e)\\in S_0이다. 따라서 |S_0|\\ge p여야 한다.
그러므로 어느 a\\neq e가 있어 a^p=e이다.
S=\\{(g_1,\\cdots,g_n) : g_1g_2\\cdots g_n=e\\}.
이 때 S의 원소는 g_1,\\cdots,g_{n-1}만으로 결정되므로, |S|=|G|^{n-1}이다.
이제 S 위의 작용 \\alpha: (\\Bbb{Z}/p\\Bbb{Z})\\times S\\to S를
\\alpha(k,(g_1,\\cdots,g_n)) = (g_{k+1},\\cdots,g_n,g_1,\\cdots,g_k)
로 정의하자.
이 때 S_0\\subset S를 \\Bbb{Z}/p\\Bbb{Z}의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, S_0=\\{(a,a,\\cdots,a)\\in G^p : a^p=e\\}가 된다.
Gx_1, \\cdots, Gx_k를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때,
|S| = |S_0| + \\sum_{i=1}^k |Gx_i|
이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 |Gx_i|=p이다. 또한 p\\mid |S|이므로, p\\mid |S_0|이다.
그런데 (e,e,\\cdots,e)\\in S_0이다. 따라서 |S_0|\\ge p여야 한다.
그러므로 어느 a\\neq e가 있어 a^p=e이다.
