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군론에서 코시의 정리
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968,1739
=== 일반적인 경우=== 다음과 같은 집합 )]S)]를 고려하자: >[math(S=\{(g_1,\cdots,g_n) : g_1g_2\cdots g_n=e\})]. 이 때 [math(S)]의 원소는 [math(g_1,\cdots,g_{n-1})]만으로 결정되므로, [math(|S|=|G|^{n-1})]이다. 이제 [math(S)] 위의 작용 [math(\alpha: (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\times S\to S)]를 >[math(\alpha(k,(g_1,\cdots,g_n)) = (g_{k+1},\cdots,g_n,g_1,\cdots,g_k))] 로 정의하자. 이 때 [math(S_0\subset S)]를 [math(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})]의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, [math(S_0=\{(a,a,\cdots,a)\in G^p : a^p=e\})]가 된다. [math(Gx_1)], [math(\cdots)], [math(Gx_k)]를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때, >[math(|S| = |S_0| + \sum_{i=1}^k |Gx_i|)] 이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 [math(|Gx_i|=p)]이다. 또한 [math(p\mid |S|)]이므로, [math(p\mid |S_0|)]이다. 그런데 [math((e,e,\cdots,e)\in S_0)]이다. 따라서 [math(|S_0|\ge p)]여야 한다. 그러므로 어느 [math(a\neq e)]가 있어 [math(a^p=e)]이다.
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=== 일반적인 경우=== 다음과 같은 집합 )]S)]를 고려하자: >[math(S=\{(g_1,\cdots,g_n) : g_1g_2\cdots g_n=e\})]. 이 때 [math(S)]의 원소는 [math(g_1,\cdots,g_{n-1})]만으로 결정되므로, [math(|S|=|G|^{n-1})]이다. 이제 [math(S)] 위의 작용 [math(\alpha: (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\times S\to S)]를 >[math(\alpha(k,(g_1,\cdots,g_n)) = (g_{k+1},\cdots,g_n,g_1,\cdots,g_k))] 로 정의하자. 이 때 [math(S_0\subset S)]를 [math(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})]의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, [math(S_0=\{(a,a,\cdots,a)\in G^p : a^p=e\})]가 된다. [math(Gx_1)], [math(\cdots)], [math(Gx_k)]를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때, >[math(|S| = |S_0| + \sum_{i=1}^k |Gx_i|)] 이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 [math(|Gx_i|=p)]이다. 또한 [math(p\mid |S|)]이므로, [math(p\mid |S_0|)]이다. 그런데 [math((e,e,\cdots,e)\in S_0)]이다. 따라서 [math(|S_0|\ge p)]여야 한다. 그러므로 어느 [math(a\neq e)]가 있어 [math(a^p=e)]이다.
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