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아이젠슈타인 판정법
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627,1038
==== 증명 ==== 두 원시 다항식 [math(f(x))], [math(g(x))]의 곱 [math(f(x)g(x))]가 원시 다항식이 아니라고 가정하자. [math(p)]를 [math(f(x)g(x))]의 내용의 한 소인수라고 하면, [math(f(x)g(x))]의 법 [math(p)]에 관한 축소 [math(\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0)]이고 [math((Z/pZ)[x])]는 [[정역]]이므로 [math(\bar{f}(x)=0)] 또는 [math(\bar{g}(x)=0)]이다. 그런데 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 내용은 1이므로 모순이고, 따라서 가정은 거짓이다. ■ 이는 가우스의 <산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)> 제2장 제42조에 나오는 내용이다.
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==== 증명 ==== 두 원시 다항식 [math(f(x))], [math(g(x))]의 곱 [math(f(x)g(x))]가 원시 다항식이 아니라고 가정하자. [math(p)]를 [math(f(x)g(x))]의 내용의 한 소인수라고 하면, [math(f(x)g(x))]의 법 [math(p)]에 관한 축소 [math(\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0)]이고 [math((Z/pZ)[x])]는 [[정역]]이므로 [math(\bar{f}(x)=0)] 또는 [math(\bar{g}(x)=0)]이다. 그런데 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 내용은 1이므로 모순이고, 따라서 가정은 거짓이다. ■ 이는 가우스의 <산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)> 제2장 제42조에 나오는 내용이다.
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