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아이젠슈타인 판정법
(편집) (9)
(편집 필터 규칙)
2976,3977
=== 증명 === [math(p)]가 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나눈다고 가정하면 [[군론에서 코시의 정리|코시의 정리]]에 따라 위수가 [math(p)]인 [math(\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha])]의 원소 [math(\beta +\mathbb Z[\alpha])][* [math(p\beta \in \mathbb Z[\alpha])], [math(\beta \notin \mathbb Z[\alpha])]]가 존재한다. [math(p\beta=b_0+b_1\alpha+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1})]이라 하고 [math(p\nmid b_m)]을 만족하는 최소의 정수를 [math(m)]이라 하자. 그러면 [math((b_m\alpha ^m+b_{m+1}\alpha ^{m+1}+\cdots +b_n\alpha ^n)/p)]은 [math(\mathcal O_K)]의 원소이고, 따라서 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p+\alpha ^n/p(b_{m+1}+b_{m+2}\alpha +\cdots +b_n\alpha ^{n-m-2}))]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소인데, [math(f(x))]가 [math(p)]에 관한 아이젠슈타인 다항식이므로 [math(\alpha ^n/p=-(a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})/p)]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소가 되어 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p)] 역시 [math(\mathcal O_K)]의 원소이다. 그런데 [math(p\nmid b_m)], [math(p^2\nmid a_0)]에서 [math(N(b_m\alpha ^{n-1}/p)=b_m^na_0^{n-1}/p^n\notin \mathbb Z)]이므로 모순이다. 따라서 [math(p)]는 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나누지 않는다. ■
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=== 증명 === [math(p)]가 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나눈다고 가정하면 [[군론에서 코시의 정리|코시의 정리]]에 따라 위수가 [math(p)]인 [math(\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha])]의 원소 [math(\beta +\mathbb Z[\alpha])][* [math(p\beta \in \mathbb Z[\alpha])], [math(\beta \notin \mathbb Z[\alpha])]]가 존재한다. [math(p\beta=b_0+b_1\alpha+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1})]이라 하고 [math(p\nmid b_m)]을 만족하는 최소의 정수를 [math(m)]이라 하자. 그러면 [math((b_m\alpha ^m+b_{m+1}\alpha ^{m+1}+\cdots +b_n\alpha ^n)/p)]은 [math(\mathcal O_K)]의 원소이고, 따라서 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p+\alpha ^n/p(b_{m+1}+b_{m+2}\alpha +\cdots +b_n\alpha ^{n-m-2}))]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소인데, [math(f(x))]가 [math(p)]에 관한 아이젠슈타인 다항식이므로 [math(\alpha ^n/p=-(a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})/p)]도 [math(\mathcal O_K)]의 원소가 되어 [math(b_m\alpha ^{n-1}/p)] 역시 [math(\mathcal O_K)]의 원소이다. 그런데 [math(p\nmid b_m)], [math(p^2\nmid a_0)]에서 [math(N(b_m\alpha ^{n-1}/p)=b_m^na_0^{n-1}/p^n\notin \mathbb Z)]이므로 모순이다. 따라서 [math(p)]는 [math(|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|)]를 나누지 않는다. ■
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