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아이젠슈타인 판정법
(편집) (7)
(편집 필터 규칙)
1816,2551
=== 증명 === [math(f(x))]가 유리수 위에서 가약이면 가우스의 두번째 보조 정리에 따라 정수 위에서도 가약이므로 [math(f(x)=g(x)h(x))]인 차수가 [math(r)], [math(s)]([math(1\leq r, s<n)])인 정수 계수 다항식 [math(g(x))], [math(h(x))]가 존재한다. [math(g(x)=b_rx^r+b_{r-1}x^{r−1}+\cdots +b_0)], [math(h(x)=c_sx^s+c_{s-1}x^{s−1}+\cdots +c_0)]이라고 하면 [math(a_0=b_0c_0)]은 [math(p)]의 배수지만 [math(p^2)]의 배수는 아니므로 [math(p)]는 [math(b_0)]와 [math(c_0)] 중 하나만을 나눈다. 일반성을 잃지 않고 [math(p)]가 [math(b_0)]만을 나눈다고 가정하자. [math(p\nmid b_k)]를 만족하는 정수 [math(k)] 중 최소인 것을 [math(m)]이라고 하면, [math(a_m=b_mc_0+b_{m-1}c_1+\cdots +b_0c_m)]에서 [math(a_m)]과 [math(b_{m-1},\cdots ,b_0)]이 [math(p)]의 배수이므로 [math(b_mc_0)] 역시 [math(p)]의 배수가 되어야 하지만 [math(b_m)]와 [math(c_0)]는 모두 [math(p)]의 배수가 아니므로 이는 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 기약이다. ■
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=== 증명 === [math(f(x))]가 유리수 위에서 가약이면 가우스의 두번째 보조 정리에 따라 정수 위에서도 가약이므로 [math(f(x)=g(x)h(x))]인 차수가 [math(r)], [math(s)]([math(1\leq r, s<n)])인 정수 계수 다항식 [math(g(x))], [math(h(x))]가 존재한다. [math(g(x)=b_rx^r+b_{r-1}x^{r−1}+\cdots +b_0)], [math(h(x)=c_sx^s+c_{s-1}x^{s−1}+\cdots +c_0)]이라고 하면 [math(a_0=b_0c_0)]은 [math(p)]의 배수지만 [math(p^2)]의 배수는 아니므로 [math(p)]는 [math(b_0)]와 [math(c_0)] 중 하나만을 나눈다. 일반성을 잃지 않고 [math(p)]가 [math(b_0)]만을 나눈다고 가정하자. [math(p\nmid b_k)]를 만족하는 정수 [math(k)] 중 최소인 것을 [math(m)]이라고 하면, [math(a_m=b_mc_0+b_{m-1}c_1+\cdots +b_0c_m)]에서 [math(a_m)]과 [math(b_{m-1},\cdots ,b_0)]이 [math(p)]의 배수이므로 [math(b_mc_0)] 역시 [math(p)]의 배수가 되어야 하지만 [math(b_m)]와 [math(c_0)]는 모두 [math(p)]의 배수가 아니므로 이는 모순이다. 따라서 [math(f(x))]는 기약이다. ■
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