연속체 가설 (편집)

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Continuum Hypothesis, CH

집합론의 가설 중 하나로, 실수 집합의 농도와 [math(\aleph_1)] 사이의 농도를 갖는 집합이 있느냐를 묻는 문제이다.

== 진술 ==
연속체 가설은 '[math(\aleph_0)] 바로 다음으로 큰 기수가 [math(2^{\aleph_0})]이다' 명제이다. 연속체 가설을 기호로 나타내면 다음과 같다.

[math(\not\exists A : \aleph_0<|A|<2^{\aleph_0})]

[[선택공리]]를 가정하면 연속체 가설은 [math(\aleph_1=2^{\aleph_0})]이라는 명제와 동치가 된다. 선택공리를 가정하지 않으면, 일반적으로 이 두 명제는 동치가 아니다.

== 일반화 ==
하우스도르프는 연속체 가설을 다음과 같은 형태로 일반화시켰다.
* 임의의 무한기수 [math(\kappa)]에 대해 [math(\kappa < |A| < 2^\kappa)]인 집합 [math(A)]는 존재하지 않는다. 
이를 일반화된 연속체 가설(Generalized Continuum Hypothesis, GCH)라고 부르며, 이는 다음과 동치이다:
* 임의의 서수 [math(\alpha)]에 대해 [math(\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha})].

시어핀스키는 체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 GCH를 가정하면 선택공리가 이끌어내어짐을 증명했다.

== 연속체 가설은 참인가? ==
=== 초기 역사 ===
연속체 가설은 1878년 칸토어에 의해 처음으로 주장되었다. 칸토어-벤딕슨 정리에 의하면 실수선 위의 폐집합은 기껏 가산이거나 연속체 농도와 같은데[* 보다 정확히는, 폐집합이 완전집합 성질을 갖는데], 칸토어는 이의 증명이 폐집합이 아닌 다른 집합들에 대해서도 확장될 수 있다고 기대했다. 반면, 듈라 쾨니그(Gyula Kőnig)는 연속체 가설이 거짓이라 생각하였다.

=== 독립성의 증명 ===
1938년에, 괴델은 V=L 하에서 일반화된 연속체 가설이 증명됨을 보였다. 그리고 [[구성가능한 우주]]가 구성가능성 공리의 모형이 됨을 보임으로써, 만약 ZFC가 일관되었다면 ZFC+V=L 또한 일관되었음을 보였다. 하지만, 1944년에 괴델은 연속체 가설이 거짓이라고 생각하게 된다. V=L은 집합론적 우주의 크기를 작게 만드는 반면 괴델은 집합론적 우주가 상당히 크다고 생각했다. 특히, V=L이 연속체 가설을 증명하는 것이 연속체 가설이 참이란 것을 보장해주지 못 한다. 따라서 괴델은 연속체 가설이 기존 집합론 체계 내에서 결정 불가능하다고 결론지었다.

그리고 1963년 코헨은 강제법을 이용해서 ZF+￢CH의 모형을 구성했다. 따라서 연속체 가설은 ZFC와 독립된 명제이다.

=== 기술집합론적 논증 ===
칸토어-벤딕슨 정리는 후에 일반화되었다. 하우스도르프가 1914년에 [math(\mathbb{\Pi}^0_2)] 집합이 완전집합 성질을 가짐을 증명했고, 1916년에 모든 [[보렐 집합]]이 완전집합 성질을 가짐을 증명했다. 하지만 하우스도르프는 그것이 연속체 가설을 지지하는 근거라 생각하지 않았다.

1925년에 루진이 모든 해석집합이 완전집합 성질을 가짐을 보였다.

=== 독립성 증명 이후 ===
연속체 가설의 독립성이 밝혀진 이후에도, 많은 수학자들은 연속체 가설이 참 혹은 거짓이여야 한다고 생각했다. 괴델은 큰 기수 공리가 연속체 가설을 반증할 수 있을 것이라 생각했다. 하지만, 이는 거짓으로 판명났다. 그럼에도 플라톤주의자들은 연속체 가설이 비형식적인 방법을 통해 결정 가능하다고 생각했다. 괴델 또한 그렇게 생각했고, 연속체 가설이 거짓이라는 여러 논증을 제시했다.

== 참고 문헌 ==
* Maddy, P. (1988). Believing the axioms. I. The Journal of Symbolic Logic, 53(02), 481-511.

== 영상 ==
[youtube(IrSbEtkHgfA)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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