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Continuum Hypothesis, CH
집합론의 가설 중 하나로, 실수 집합의 농도와 \\aleph_1 사이의 농도를 갖는 집합이 있느냐를 묻는 문제이다.
1. 진술 ✎ ⊖
연속체 가설은 '\\aleph_0 바로 다음으로 큰 기수가 2^{\\aleph_0}이다' 명제이다. 연속체 가설을 기호로 나타내면 다음과 같다.
\\not\\exists A : \\aleph_0<|A|<2^{\\aleph_0}
선택공리를 가정하면 연속체 가설은 \\aleph_1=2^{\\aleph_0}이라는 명제와 동치가 된다. 선택공리를 가정하지 않으면, 일반적으로 이 두 명제는 동치가 아니다.
\\not\\exists A : \\aleph_0<|A|<2^{\\aleph_0}
선택공리를 가정하면 연속체 가설은 \\aleph_1=2^{\\aleph_0}이라는 명제와 동치가 된다. 선택공리를 가정하지 않으면, 일반적으로 이 두 명제는 동치가 아니다.
2. 일반화 ✎ ⊖
하우스도르프는 연속체 가설을 다음과 같은 형태로 일반화시켰다.
시어핀스키는 체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 GCH를 가정하면 선택공리가 이끌어내어짐을 증명했다.
- 임의의 무한기수 \\kappa에 대해 \\kappa < |A| < 2^\\kappa인 집합 A는 존재하지 않는다.
- 임의의 서수 \\alpha에 대해 \\aleph_{\\alpha+1}=2^{\\aleph_\\alpha}.
시어핀스키는 체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 GCH를 가정하면 선택공리가 이끌어내어짐을 증명했다.
3. 연속체 가설은 참인가? ✎ ⊖
3.1. 초기 역사 ✎ ⊖
연속체 가설은 1878년 칸토어에 의해 처음으로 주장되었다. 칸토어-벤딕슨 정리에 의하면 실수선 위의 폐집합은 기껏 가산이거나 연속체 농도와 같은데(1), 칸토어는 이의 증명이 폐집합이 아닌 다른 집합들에 대해서도 확장될 수 있다고 기대했다. 반면, 듈라 쾨니그(Gyula Kőnig)는 연속체 가설이 거짓이라 생각하였다.
3.2. 독립성의 증명 ✎ ⊖
1938년에, 괴델은 V=L 하에서 일반화된 연속체 가설이 증명됨을 보였다. 그리고 구성가능한 우주가 구성가능성 공리의 모형이 됨을 보임으로써, 만약 ZFC가 일관되었다면 ZFC+V=L 또한 일관되었음을 보였다. 하지만, 1944년에 괴델은 연속체 가설이 거짓이라고 생각하게 된다. V=L은 집합론적 우주의 크기를 작게 만드는 반면 괴델은 집합론적 우주가 상당히 크다고 생각했다. 특히, V=L이 연속체 가설을 증명하는 것이 연속체 가설이 참이란 것을 보장해주지 못 한다. 따라서 괴델은 연속체 가설이 기존 집합론 체계 내에서 결정 불가능하다고 결론지었다.
그리고 1963년 코헨은 강제법을 이용해서 ZF+￢CH의 모형을 구성했다. 따라서 연속체 가설은 ZFC와 독립된 명제이다.
그리고 1963년 코헨은 강제법을 이용해서 ZF+￢CH의 모형을 구성했다. 따라서 연속체 가설은 ZFC와 독립된 명제이다.
3.3. 기술집합론적 논증 ✎ ⊖
칸토어-벤딕슨 정리는 후에 일반화되었다. 하우스도르프가 1914년에 \\mathbb{\\Pi}^0_2 집합이 완전집합 성질을 가짐을 증명했고, 1916년에 모든 보렐 집합이 완전집합 성질을 가짐을 증명했다. 하지만 하우스도르프는 그것이 연속체 가설을 지지하는 근거라 생각하지 않았다.
1925년에 루진이 모든 해석집합이 완전집합 성질을 가짐을 보였다.
1925년에 루진이 모든 해석집합이 완전집합 성질을 가짐을 보였다.
3.4. 독립성 증명 이후 ✎ ⊖
연속체 가설의 독립성이 밝혀진 이후에도, 많은 수학자들은 연속체 가설이 참 혹은 거짓이여야 한다고 생각했다. 괴델은 큰 기수 공리가 연속체 가설을 반증할 수 있을 것이라 생각했다. 하지만, 이는 거짓으로 판명났다. 그럼에도 플라톤주의자들은 연속체 가설이 비형식적인 방법을 통해 결정 가능하다고 생각했다. 괴델 또한 그렇게 생각했고, 연속체 가설이 거짓이라는 여러 논증을 제시했다.
4. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Maddy, P. (1988). Believing the axioms. I. The Journal of Symbolic Logic, 53(02), 481-511.
