원주율 (편집) - 시드위키

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圓周率

[[원]]의 둘레를 지름으로 나눈 값으로 정의되며, 수학에서 중요한 상수 중 하나이다. [math(\pi)]로 나타낸다. [[소수 계량 함수]]와는 상관이 없다.

== 성질 ==
=== 무리수성 ===
[math(\pi \in \mathbb{R})]임은 정의에 의해 성립한다.
[math(\pi \in \mathbb{Q})]를 가정하면 [math(a,b \in \mathbb{N})]이 존재하여 [math(\pi=\frac{a}{b})]가 된다.

[math(f(x))]를 다음과 같이 정의하자.

><math>f(x):=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}</math>

그러면 [math(c_i \in \mathbb{Z})]들이 존재하여 [math(f(x)=\frac{1}{n!}\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i)]가 성립하고, [math(0<x<1)]일 때 [math(0<f(x)<\frac{1}{n!})]가 된다. 
또한 다음 식을 보면 임의의 음이 아닌 정수 [math(k)]에 대하여 [math(f^{(k)}(0) \in \mathbb{Z})]임을 알 수 있다.

><math>f^{(k)}(x)=\begin{cases}0 & \text{if}\ x= k \in [0,n) \cup (2n,+\infty)\\\frac{k!}{n!}c_k & \text{if}\ x= k \in [n,2n]\end{cases}</math>

[math(f^{(k)}(1-x)=(-1)^k f^{(k)}(x))]임을 이용하면 임의의 음이 아닌 정수 [math(k)]에 대하여 [math(f^{(k)}(1)=(-1)^k f^{(k)}(0) \in \mathbb{Z})]임도 알 수 있다.

이제 [math(F(x))]를 다음과 같이 정의하자.

><math>F(x):= b^n \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)</math>

[math(F(x))]를 [math(x)]에 대해 두 번 미분한 결과는 [math(F(x))]와 [math(f(x))]에 대해 표현할 수 있다.

><math>\begin{aligned}F''(x) &= b^n \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\&= b^n \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\&= b^n \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\pi^{2(n-k+1)}f^{(2k)}(x)\\&=-\pi^2 F(x)+b^n \pi^{2n+2} f(x)\end{aligned}</math>

이제 [math(F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi x)]를 [math(x)]에 대해 미분하고 정리하면 아래 결과를 얻는다.

><math>\begin{aligned}\frac{d}{dx}(F'(x)\sin\pi x-\pi F(x)\cos\pi x) &= F''(x)\sin\pi x+\pi F'(x)\cos\pi x-\pi F'(x)\cos\pi x+\pi^2 F(x)\sin\pi x\\&=(F''(x)+\pi^2 F(x))\sin\pi x \\&=b^n \pi^{2n+2} f(x)\sin\pi x \\&=a^n\pi^2 f(x)\sin\pi\end{aligned}</math>

[math(N)]을 위 식의 양 변을 0부터 1까지 적분한 값으로 정의하면 [math(N)]이 정수라는 것을 알 수 있다.

><math>\begin{aligned}N &:=\int_{0}^{1}a^n\pi f(x)\sin\pi x dx\\&=\left[\frac{1}{\pi}F'(x)\sin\pi x-F(x)\cos\pi x\right]_0^1\\&=(\frac{1}{\pi}F'(1)\sin\pi -F(1)\cos\pi)-(\frac{1}{\pi}F'(0)\sin 0-F(0)\cos 0)\\&=F(0)+F(1) \in \mathbb{Z}\end{aligned}</math>

[math(\forall x \in [0,1]\ a^n\pi f(x)\sin\pi x \geq 0)]이므로 [math(N>0)]이다. 이제 [math(N)]의 범위를 생각해 보면 충분히 큰 [math(n)]에 대해 아래 부등식이 성립함을 알 수 있다.

><math>0<N=\int_{0}^{1}a^n\pi f(x)\sin\pi x dx<\int_{0}^{1}a^n\pi \frac{1}{n!} \sin\pi x dx=\frac{a^n\pi}{n!}<1</math>

이는 모순이다. 따라서 [math(\pi)]는 무리수이다.

== 영상 ==
[youtube(7QuzX8m5NZk)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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