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圓周率
원의 둘레를 지름으로 나눈 값으로 정의되며, 수학에서 중요한 상수 중 하나이다. \\pi로 나타낸다. 소수 계량 함수와는 상관이 없다.
1. 성질 ✎ ⊖
1.1. 무리수성 ✎ ⊖
\\pi \\in \\mathbb{R}임은 정의에 의해 성립한다.
\\pi \\in \\mathbb{Q}를 가정하면 a,b \\in \\mathbb{N}이 존재하여 \\pi=\\frac{a}{b}가 된다.
f(x)를 다음과 같이 정의하자.
그러면 c_i \\in \\mathbb{Z}들이 존재하여 f(x)=\\frac{1}{n!}\\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i가 성립하고, 0<x<1일 때 0<f(x)<\\frac{1}{n!}가 된다.
또한 다음 식을 보면 임의의 음이 아닌 정수 k에 대하여 f^{(k)}(0) \\in \\mathbb{Z}임을 알 수 있다.
f^{(k)}(1-x)=(-1)^k f^{(k)}(x)임을 이용하면 임의의 음이 아닌 정수 k에 대하여 f^{(k)}(1)=(-1)^k f^{(k)}(0) \\in \\mathbb{Z}임도 알 수 있다.
이제 F(x)를 다음과 같이 정의하자.
F(x)를 x에 대해 두 번 미분한 결과는 F(x)와 f(x)에 대해 표현할 수 있다.
이제 F'(x)\\sin\\pi x-\\pi F(x)\\cos\\pi x를 x에 대해 미분하고 정리하면 아래 결과를 얻는다.
N을 위 식의 양 변을 0부터 1까지 적분한 값으로 정의하면 N이 정수라는 것을 알 수 있다.
\\forall x \\in [0,1]\\ a^n\\pi f(x)\\sin\\pi x \\geq 0이므로 N>0이다. 이제 N의 범위를 생각해 보면 충분히 큰 n에 대해 아래 부등식이 성립함을 알 수 있다.
이는 모순이다. 따라서 \\pi는 무리수이다.
\\pi \\in \\mathbb{Q}를 가정하면 a,b \\in \\mathbb{N}이 존재하여 \\pi=\\frac{a}{b}가 된다.
f(x)를 다음과 같이 정의하자.
f(x):=\\frac{x^n(1-x)^n}{n!}
그러면 c_i \\in \\mathbb{Z}들이 존재하여 f(x)=\\frac{1}{n!}\\sum_{i=n}^{2n}c_ix^i가 성립하고, 0<x<1일 때 0<f(x)<\\frac{1}{n!}가 된다.
또한 다음 식을 보면 임의의 음이 아닌 정수 k에 대하여 f^{(k)}(0) \\in \\mathbb{Z}임을 알 수 있다.
f^{(k)}(x)=\\begin{cases}0 & \\text{if}\\ x= k \\in [0,n) \\cup (2n,+\\infty)\\\\\\frac{k!}{n!}c_k & \\text{if}\\ x= k \\in [n,2n]\\end{cases}
f^{(k)}(1-x)=(-1)^k f^{(k)}(x)임을 이용하면 임의의 음이 아닌 정수 k에 대하여 f^{(k)}(1)=(-1)^k f^{(k)}(0) \\in \\mathbb{Z}임도 알 수 있다.
이제 F(x)를 다음과 같이 정의하자.
F(x):= b^n \\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\\pi^{2(n-k)}f^{(2k)}(x)
F(x)를 x에 대해 두 번 미분한 결과는 F(x)와 f(x)에 대해 표현할 수 있다.
\\begin{aligned}F''(x) &= b^n \\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\\\&= b^n \\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\\pi^{2(n-k)}f^{(2k+2)}(x)\\\\&= b^n \\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\\pi^{2(n-k+1)}f^{(2k)}(x)\\\\&=-\\pi^2 F(x)+b^n \\pi^{2n+2} f(x)\\end{aligned}
이제 F'(x)\\sin\\pi x-\\pi F(x)\\cos\\pi x를 x에 대해 미분하고 정리하면 아래 결과를 얻는다.
\\begin{aligned}\\frac{d}{dx}(F'(x)\\sin\\pi x-\\pi F(x)\\cos\\pi x) &= F''(x)\\sin\\pi x+\\pi F'(x)\\cos\\pi x-\\pi F'(x)\\cos\\pi x+\\pi^2 F(x)\\sin\\pi x\\\\&=(F''(x)+\\pi^2 F(x))\\sin\\pi x \\\\&=b^n \\pi^{2n+2} f(x)\\sin\\pi x \\\\&=a^n\\pi^2 f(x)\\sin\\pi\\end{aligned}
N을 위 식의 양 변을 0부터 1까지 적분한 값으로 정의하면 N이 정수라는 것을 알 수 있다.
\\begin{aligned}N &:=\\int_{0}^{1}a^n\\pi f(x)\\sin\\pi x dx\\\\&=\\left[\\frac{1}{\\pi}F'(x)\\sin\\pi x-F(x)\\cos\\pi x\\right]_0^1\\\\&=(\\frac{1}{\\pi}F'(1)\\sin\\pi -F(1)\\cos\\pi)-(\\frac{1}{\\pi}F'(0)\\sin 0-F(0)\\cos 0)\\\\&=F(0)+F(1) \\in \\mathbb{Z}\\end{aligned}
\\forall x \\in [0,1]\\ a^n\\pi f(x)\\sin\\pi x \\geq 0이므로 N>0이다. 이제 N의 범위를 생각해 보면 충분히 큰 n에 대해 아래 부등식이 성립함을 알 수 있다.
0<N=\\int_{0}^{1}a^n\\pi f(x)\\sin\\pi x dx<\\int_{0}^{1}a^n\\pi \\frac{1}{n!} \\sin\\pi x dx=\\frac{a^n\\pi}{n!}<1
이는 모순이다. 따라서 \\pi는 무리수이다.
