위상 공간 (편집) - 시드위키

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位相空間 / topological space

위상(Topology)이라는 구조가 주어져 있는 공간을 말한다. 위상공간 위에서는 연속성, 연결성, 컴팩트성 등을 논할 수 있다.

== 정의 ==
집합 [math(X)]가 주어졌을 때 [math(X)]의 부분집합의 모임 [math(\tau)]가 다음 세 가지
* [math(\emptyset, X \in \tau)]
* [math(U,V\in \tau)]이면 [math(U\cap V\in\tau)]
* 임의의 첨수 [math(\alpha\in I)]에 대해 [math(U_\alpha\in \tau)]이면 [math(\bigcup_{\alpha\in I} U_\alpha\in \tau)]
를 만족하면 이를 위상이라 한다. 그리고 집합 [math(X)]에 위상 [math(\tau)]가 주어지면 이를 위상공간이라 하고 [math((X,\tau))]로 표기한다. 만약 주어진 위상 [math(\tau)]가 무엇인지 혼동할 우려가 없을 경우 간단히 [math(X)]로 표기한다.

주어진 위상 [math(\tau)]에 대해 [math(\tau)]의 원소들을 위상공간 [math((X,\tau))]에서의 열린 집합이라고 한다. 또한 열린 집합의 여집합을 위상공간 [math((X,\tau))]에서의 [[닫힌 집합]]이라고 한다.

닫힌 집합의 성질을 이용하여 위상을 정의할 수도 있다. 다음의 세 성질
* [math(\emptyset, X)]는 닫혀있다.
* 임의의 닫힌 집합의 모임의 교집합은 닫혀있다.
* 유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.
로 닫힌 집합을 정의한 후, 그 여집합을 열린 집합으로, 열린 집합들의 모임을 위상으로 정의하는 식이다. 하지만 특별한 이점이 없기 때문에 일반적으로는 열린 집합을 이용해 위상을 정의한다.

== 위상의 비교 ==
X의 위상 T, T'에 대해, 그 비교는 다음과 같이 정의된다.
* T ⊃  T'이면 T 이 T' 보다 더 섬세하다(finer).
* T ⊂ T'이면 T 이 T' 보다 더 엉성하다(coaser).
특별히 T ≠ T'일 경우 순전히 더 섬세하다(strictly finer), 순전히 더 엉성하다(strictly coaser)라고 표현한다.

T ⊃ T' 혹은 T ⊂ T'가 성립할 때, T와 T'를 비교 가능하다(comparable)고 말한다.

'섬세하다' 대신 '크다'(larger), '엉성하다' 대신 '작다'(smaller)를 사용하기도 한다.

===기저를 통한 비교===
T, T'의 기저를 각각 B, B'이라고 할 때, 다음 둘은 동치이다.
* T'이 T보다 더 섬세하다.
* 각 x∈ X와 x∈ b∈ B에 대해, b'∈ B'이 존재하여 x∈ b'∈ B'이다.

== 예시 ==
* [math(X)]의 이산위상(discrete topology)은 최대의 위상 [math(2^X)], 즉 [math(X)]의 모든 부분집합의 모임이다.
* [math(X)]의 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial toplogy)은 최소의 위상 [math(\{\emptyset,X\})]를 말한다.
* [math(\Bbb R)]에는 표준위상(standard topology) [math(\{(a,b)\mid a<b\})]가 주어진다.

== 영상 ==
[youtube(XVFo3QOY8k4)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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