위상 공간

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位相空間 / topological space

위상(Topology)이라는 구조가 주어져 있는 공간을 말한다. 위상공간 위에서는 연속성, 연결성, 컴팩트성 등을 논할 수 있다.

목차

1. 정의
2. 위상의 비교
2.1. 기저를 통한 비교
3. 예시
4. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

집합 X가 주어졌을 때 X의 부분집합의 모임 \\tau가 다음 세 가지

\\emptyset, X \\in \\tau
U,V\\in \\tau이면 U\\cap V\\in\\tau
임의의 첨수 \\alpha\\in I에 대해 U_\\alpha\\in \\tau이면 \\bigcup_{\\alpha\\in I} U_\\alpha\\in \\tau

를 만족하면 이를 위상이라 한다. 그리고 집합 X에 위상 \\tau가 주어지면 이를 위상공간이라 하고 (X,\\tau)로 표기한다. 만약 주어진 위상 \\tau가 무엇인지 혼동할 우려가 없을 경우 간단히 X로 표기한다.

주어진 위상 \\tau에 대해 \\tau의 원소들을 위상공간 (X,\\tau)에서의 열린 집합이라고 한다. 또한 열린 집합의 여집합을 위상공간 (X,\\tau)에서의 닫힌 집합이라고 한다.

닫힌 집합의 성질을 이용하여 위상을 정의할 수도 있다. 다음의 세 성질

\\emptyset, X는 닫혀있다.
임의의 닫힌 집합의 모임의 교집합은 닫혀있다.
유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.

로 닫힌 집합을 정의한 후, 그 여집합을 열린 집합으로, 열린 집합들의 모임을 위상으로 정의하는 식이다. 하지만 특별한 이점이 없기 때문에 일반적으로는 열린 집합을 이용해 위상을 정의한다.

2. 위상의 비교 _{✎ ⊖}

X의 위상 T, T'에 대해, 그 비교는 다음과 같이 정의된다.

T ⊃ T'이면 T 이 T' 보다 더 섬세하다(finer).
T ⊂ T'이면 T 이 T' 보다 더 엉성하다(coaser).

특별히 T ≠ T'일 경우 순전히 더 섬세하다(strictly finer), 순전히 더 엉성하다(strictly coaser)라고 표현한다.

T ⊃ T' 혹은 T ⊂ T'가 성립할 때, T와 T'를 비교 가능하다(comparable)고 말한다.

'섬세하다' 대신 '크다'(larger), '엉성하다' 대신 '작다'(smaller)를 사용하기도 한다.

2.1. 기저를 통한 비교 _{✎ ⊖}

T, T'의 기저를 각각 B, B'이라고 할 때, 다음 둘은 동치이다.

T'이 T보다 더 섬세하다.
각 x∈ X와 x∈ b∈ B에 대해, b'∈ B'이 존재하여 x∈ b'∈ B'이다.

3. 예시 _{✎ ⊖}

X의 이산위상(discrete topology)은 최대의 위상 2^X, 즉 X의 모든 부분집합의 모임이다.
X의 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial toplogy)은 최소의 위상 \\{\\emptyset,X\\}를 말한다.
\\Bbb R에는 표준위상(standard topology) \\{(a,b)\\mid a<b\\}가 주어진다.

4. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 정의 ✎ ⊖

2. 위상의 비교 ✎ ⊖

2.1. 기저를 통한 비교 ✎ ⊖

3. 예시 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 위상의 비교 _{✎ ⊖}

2.1. 기저를 통한 비교 _{✎ ⊖}

3. 예시 _{✎ ⊖}

4. 영상 _{✎ ⊖}