유니터리 군 (편집)

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유니터리 군(Unitary group) [math(\mathrm{U(} n \mathrm{)})]은 [math(n)]차 정방 유니터리 행렬로 이루어진 군이다.

== 특징 ==
=== 수학 ===
수학적인 입장에서, 모든 원소는 [math(\mathrm{GL(} n, \Bbb{C} \mathrm{)})]의 원소이다. 유니터리 군의 한 원소 [math(\boldsymbol{U} \in \mathrm{U(} n \mathrm{)})]에 대하여, 어떤 [math(n)]차 정방 에르미트 행렬 [math(\boldsymbol{H})]에 대해

[math(U=\exp(i\boldsymbol{H}))]

의 관계를 가진다. 양자역학의 수학적 체계에서 이 식은 시간에 대한 평행이동, 또는 공간에 대한 평행이동을 나타내는 것이며, [math(\boldsymbol{H})]는 해밀토니안 연산자 또는 운동량 연산자로 대치된다. 앞에서의 관점을 좀 더 확장하면, 유니터리 군의 모든 원소는 단 하나의 원소 [math(U_0)]와 연산자 [math(\exp(i\boldsymbol{H}x))]로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 원소 [math(U)]에 대하여 [math(U=U_0\exp(i\boldsymbol{H}x))]이다. 이 식에서, 에르미트 행렬 [math(\boldsymbol{H})]를 생성자(Generator)라고 한다.

생성자는 기저가 어떠한가에 따라 다시 생각해 볼 수 있다. 생성자의 기저 [math({\boldsymbol{B}}_{i})]끼리의 교환자가

[math([{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}] = i {s}_{i j k} {\boldsymbol{B}}_{k})]

로 나타낼 수 있는 경우, [math({s}_{i j k})]를 구조상수(Structure Constants)라고 한다. 이러한 관계에 있는 기저끼리의 반교환자는

[math(\{{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}\} = \frac{1}{3} {\delta}_{i j} \boldsymbol{I} + {c}_{i j k} {\boldsymbol{B}}_{k})]

이다. 만약 기저들을 알고 있는데, 구조상수와 반교환계수 [math({c}_{i j k})]를 모른다면

[math({s}_{i j k} = - 2 i \mathrm{Tr}([{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}], {\boldsymbol{B}}_{k}), \, {c}_{i j k} = 2 \mathrm{Tr}(\{{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}\}, {\boldsymbol{B}}_{k}))]

로 계산할 수 있다.

=== 물리학 ===
입자물리학에서, 하이퍼차지(Hypercharge)에 대한 상호작용은 [math(\mathrm{U(1)})]군으로 기술할 수 있다. 또한 양자역학에서, 파동함수의 시간에 대한 대칭성이나 공간의 한 축에 대한 대칭성 역시 [math(\mathrm{U(1)})]군에서 찾을 수 있다.

== 영상 ==
[youtube(ERc6NvaanSM)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316025452/http://mathwiki.net/%EC%9C%A0%EB%8B%88%ED%84%B0%EB%A6%AC_%EA%B5%B0|링크]])]

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