유니터리 군

유니터리 군(Unitary group)

\mathrm{U(} n \mathrm{)}

은

n

차 정방 유니터리 행렬로 이루어진 군이다.

목차

1. 특징
1.1. 수학
1.2. 물리학
2. 영상

1. 특징 _{✎ ⊖}

수학적인 입장에서, 모든 원소는

\mathrm{GL(} n, \Bbb{C} \mathrm{)}

의 원소이다. 유니터리 군의 한 원소

\boldsymbol{U} \in \mathrm{U(} n \mathrm{)}

에 대하여, 어떤

n

차 정방 에르미트 행렬

\boldsymbol{H}

에 대해

　

U=\exp(i\boldsymbol{H})

의 관계를 가진다. 양자역학의 수학적 체계에서 이 식은 시간에 대한 평행이동, 또는 공간에 대한 평행이동을 나타내는 것이며,

\boldsymbol{H}

는 해밀토니안 연산자 또는 운동량 연산자로 대치된다. 앞에서의 관점을 좀 더 확장하면, 유니터리 군의 모든 원소는 단 하나의 원소

U_0

와 연산자

\exp(i\boldsymbol{H}x)

로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 원소

U

에 대하여

U=U_0\exp(i\boldsymbol{H}x)

이다. 이 식에서, 에르미트 행렬

\boldsymbol{H}

를 생성자(Generator)라고 한다.

생성자는 기저가 어떠한가에 따라 다시 생각해 볼 수 있다. 생성자의 기저

{\boldsymbol{B}}_{i}

끼리의 교환자가

　

[{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}] = i {s}_{i j k} {\boldsymbol{B}}_{k}

로 나타낼 수 있는 경우,

{s}_{i j k}

를 구조상수(Structure Constants)라고 한다. 이러한 관계에 있는 기저끼리의 반교환자는

　

\{{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}\} = \frac{1}{3} {\delta}_{i j} \boldsymbol{I} + {c}_{i j k} {\boldsymbol{B}}_{k}

이다. 만약 기저들을 알고 있는데, 구조상수와 반교환계수

{c}_{i j k}

를 모른다면

　

{s}_{i j k} = - 2 i \mathrm{Tr}([{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}], {\boldsymbol{B}}_{k}), \, {c}_{i j k} = 2 \mathrm{Tr}(\{{\boldsymbol{B}}_{i}, {\boldsymbol{B}}_{j}\}, {\boldsymbol{B}}_{k})

로 계산할 수 있다.

입자물리학에서, 하이퍼차지(Hypercharge)에 대한 상호작용은

\mathrm{U(1)}

군으로 기술할 수 있다. 또한 양자역학에서, 파동함수의 시간에 대한 대칭성이나 공간의 한 축에 대한 대칭성 역시

\mathrm{U(1)}

군에서 찾을 수 있다.

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