유한단순군의 목록 (편집)

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[[분류:가져온 문서/오메가]]
유한단순군의 분류에 의해서 모든 유한단순군은 다음 군들 중 하나와 동형이다.

밑에서 n은 자연수이고, q > 1 는 소수 p의 거듭제곱수이다.

== 무한족 ==
무한족은 무한한 군들의 모임을 말한다.

=== 순환군 ===
순환군은 [math(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})]꼴로 표기하며, p가 소수일 때 이 군은 단순군이다. 위수는 p이다.

=== 교대군 ===
교대군은 [math(A_n)]꼴로 표기하며, n이 5 이상일 때 이 군은 단순군이다.

위수는 n!/2이다. n이 3일때에는 [math(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})]과 동형이라 단순군이지만 이건 이 족에 들어있는 것으로 치지는 않는다.

=== 슈발레 군 ===
==== An(q) ====
[math(A_n(q))]는 n=1이고 q가 2, 3일 때에만 가해군이고, 이외의 경우는 모두 단순군이다.

위수는 [math({1\over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2} \prod_{i=1}^n(q^{i+1}-1))]이다.

==== Bn(q) ====
[math(B_2(2))]는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (2,q-1)}q^{n^2}\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1))]이다.

==== Cn(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (2,q-1)}q^{n^2}\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1))]이다.

==== Dn(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (4,q^n-1)}q^{n(n-1)}(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1))]이다.

==== En(q) ====
n=6, 7, 8인 경우만 존재하며, 항상 단순군이다.

위수는

* n=6이면 q^^36^^(q^^12^^−1)(q^^9^^-1)(q^^8^^−1)(q^^6^^−1)(q^^5^^−1)(q^^2^^−1)/(3,q−1)
* n=7이면 q^^63^^(q^^18^^−1)(q^^14^^−1)(q^^12^^−1)(q^^10^^−1)(q^^8^^−1)(q^^6^^−1)(q^^2^^−1)/(2,q−1)
* n=8이면 q^^120^^(q^^30^^−1)(q^^24^^−1)(q^^20^^−1)(q^^18^^−1)(q^^14^^−1)(q^^12^^−1)(q^^8^^−1)(q^^2^^−1)

이다.

==== F4(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 q^^24^^(q^^12^^−1)(q^^8^^−1)(q^^6^^−1)(q^^2^^−1)이다.

==== G2(q) ====
[math(G_2(2))]는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 q^^6^^(q^^6^^−1)(q^^2^^−1)이다.

=== 스즈키 군 ===
스즈키 군은 [math(^2B_2(2^{2n+1}))]와 같이 표기한다.

n이 1 이상일 때 단순군이며, [math(^2B_2(2))]는 가해군이다.

이 군은 [math(Suz(2^{2n+1}))], [math(Sz(2^{2n+1}))]와 같이 표기되기도 한다.

이 군의 위수는 q^^2^^ (q^^2^^ + 1) (q − 1) (단, q = 2^^2n+1^^)이다.

=== 리 군, 티츠 군 ===
이 군은 대한민국 출생의 캐나다 수학자 이임학의 이름이 붙어있는 군으로 [math(^2F_4(2^{2n+1}))]와 같이 표기한다. n이 1 이상일 때 단순군이고, [math(^2F_4(2))]의 index가 2인 derived group [math(^2F_4(2)')]를 티츠 군이라고 한다.

이 군의 위수는 q^^12^^(q6 + 1) (q^^4^^ − 1) (q^^3^^ + 1) (q − 1) (단, q = 2^^2n+1^^)이다.

=== 리 군 ===
이 군에는 대한민국 출생의 캐나다 수학자 이임학의 이름이 붙어있는 군으로 [math(^2G_2(3^{2n+1}))]와 같이 표기한다.

n이 1 이상일 때 단순군이며, [math(^2G_2(3))]은 가해군이지만 index가 3인 derived group이 존재해서 그 군은 단순군이며, [math(^2G_2(3)')]와 같이 표기한다. 위수는 q^^3^^ (q^^3^^ + 1) (q − 1) (단, q = 3^^2n+1^^)이다.

== 산재군 ==
산재군은 총 26개가 존재한다.

=== 마티외 군 ===
==== M,,11,, ====
* [math(M_{11})]은 위수가 2^^4^^ · 3^^2^^ · 5 · 11=7920인 단순군이다.
* [math(S_{11})]의 부분군으로 두 원소 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), (3,7,11,8)(4,10,5,6)를 생성원으로 가지는 군이다.
* [math(M_{11})]은 11개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 4-정추이군이다.

==== M,,12,, ====
* [math(M_{12})]는 위수가 2^^6^^ · 3^^3^^ · 5 · 11=95040인 단순군이다.
* [math(M_{12})]는 12개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 5-정추이군이다.

==== M,,22,, ====
* [math(M_{22})]는 위수가 2^^7^^ · 3^^2^^ · 5 · 7 · 11 = 443520인 단순군이다.
* [math(M_{22})]는 22개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 3-추이군이다.

==== M,,23,, ====
* [math(M_{23})]은 위수가 2^^7^^ · 3^^2^^ · 5 · 7 · 11 · 23=10200960인 단순군이다.
* [math(M_{23})]은 23개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 4-추이군이다.

==== M,,24,, ====
* [math(M_{24})]는 위수가 2^^10^^ · 3^^3^^ · 5 · 7 · 11 · 23= 244823040인 단순군이다.
* [math(M_{24})]는 24개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 5-추이군이다.

=== 얀코 군 ===
==== J,,1,, ====
[math(J_1)]의 위수는 2^^3^^ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560이다.

원소 개수가 11개인 체의 원소로 이루어진  [math(7\times 7)] 크기의 직교행렬이 이루는 군의 부분군 중 이 행렬로 생성되는 군이다.

[math({\mathbf Y} = \left ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right))]

[math({\mathbf Z} = \left ( \begin{matrix}-3 & +2 & -1 & -1 & -3 & -1 & -3 \\-2 & +1 & +1 & +3 & +1 & +3 & +3 \\-1 & -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 \\-1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 \\-3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 & -1 \\+1 & +3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 \\+3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 & +1 \end{matrix} \right))]

여기서 위의 것은 위수가 7이고, 밑의 것은 위수가 5이다.

==== J,,2,, ====
[math(J_2)]의 위수는 2^^7^^ · 3^^3^^ · 5^^2^^ · 7 = 604800이다.

다음 행렬로 군이 생성된다.

[math({\mathbf A} = \left ( \begin{matrix}w^2 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & w^2 & w^2 & 0 & 0 \\ w & 1 & 1 & w^2 & 0 & 0 \\ 0 & w^2 & w^2 & w^2 & 0 & w \\ w^2 & 1 & w^2 & 0 & w^2 & 0 \end{matrix} \right))]

[math({\mathbf B} = \left ( \begin{matrix}w & 1 & w^2 & 1 & w^2 & w^2 \\ w & 1 & w & 1 & 1 & w \\ w & w & w^2 & w^2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ w^2 & 1 & w^2 & w^2 & w & w^2 \\ w^2 & 1 & w^2 & w & w^2 & w \end{matrix} \right))]

이 행렬은 [math({\mathbf A}^2 = {\mathbf B}^3 = ({\mathbf A}{\mathbf B})^7 = ({\mathbf A}{\mathbf B}{\mathbf A}{\mathbf B}{\mathbf B})^{12} = 1)]을 만족시킨다.

==== J,,3,, ====
[math(J_3)]는 위수가 2^^7^^ · 3^^5^^ · 5 · 17 · 19 = 50232960인 단순군이다.

이 군은 다른 산재군과 어떤 포함관계도 가지지 않고, 또한 관계되어있지 않는 것으로 보인다.

==== J,,4,, ====
[math(J_4)]는 위수가 2^^21^^ · 3^^3^^ · 5 · 7 · 11^^3^^ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86775571046077562880인 군이다.

=== 콘웨이 군 ===
==== Co,,1,, ====
[math(Co_1)]는 위수가 2^^21^^ · 3^^9^^ · 5^^4^^ · 7^^2^^ · 11 · 13 · 23 = 4157776806543360000인 군이다.

[math(Co_1)]은 리치 격자의 원점을 고정하는 자기동형사상들의 집합 [math(Co_0)]을 그 중심으로 나눈 몫군이다.

==== Co,,2,, ====
[math(Co_2)]는 위수가 2^^18^^ · 3^^6^^ · 5^^3^^ · 7 · 11 · 23 = 42305421312000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 2인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

==== Co,,3,, ====
[math(Co_3)]는 위수가 2^^10^^ · 3^^7^^ · 5^^3^^ · 7 · 11 · 23 = 495766656000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 4인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

=== 피셔 군 ===
==== Fi,,22,, ====
[math(Fi_{22})]는 위수가 2^^17^^ · 3^^9^^ · 5^^2^^ · 7 · 11 · 13 = 64561751654400인 군이다.

==== Fi,,23,, ====
[math(Fi_{23})]는 위수가 2^^18^^ · 3^^13^^ · 5^^2^^ · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4089470473293004800인 군이다.

==== Fi,,24,, ====
[math(Fi_{24})]는 위수가 2^^21^^ · 3^^16^^ · 5^^2^^ · 7^^3^^ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1255205709190661721292800인 군이다.

=== 히그만-심즈 군 ===
히그만-심즈 군 [math(HS)]는 위수가 2^^9^^ · 3^^2^^ · 5^^3^^· 7 · 11 = 44352000인 단순군이다.

히그만-심즈 군은 히그만-심즈 그래프의 자기동형사상의 index가 2인 부분군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

=== 맥러플린 군 ===
맥러플린 군 [math(McL)]는 위수가 2^^7^^ · 3^^6^^ · 5^^3^^· 7 · 11 = 898128000인 단순군이다.

맥러플린 그래프의 자기동형사상군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

=== 헬드 군 ===
헬드 군 [math(He)]는 위수가 2^^10^^ · 3^^3^^ · 5^^2^^· 7^^3^^· 17 = 4030387200인 단순군이다.

=== 루드발리스 군 ===
루드발리스 군 [math(Ru)]는 위수가 2^^14^^ · 3^^3^^ · 5^^3^^· 7 · 13 · 29 = 145926144000인 단순군이다.

=== 스즈키 산재군 ===
스즈키 산재군 [math(Suz)]는 위수가 2^^13^^ · 3^^7^^ · 5^^2^^· 7 · 11 · 13 = 448345497600인 단순군이다.

=== 오난 군 ===
오난 군 [math(O'N)]는 위수가 2^^9^^ · 3^^4^^ · 5 · 7^^3^^ · 11 · 19 · 31 = 460815505920인 단순군이다.

=== 하라다-노턴 군 ===
하라다-노턴 군 [math(HN)]는 위수가 2^^14^^ · 3^^6^^ · 5^^6^^ · 7 · 11 · 19 = 273030912000000인 단순군이다.

=== 리온스 군 ===
리온스 군 [math(Ly)]는 위수가 2^^8^^ · 3^^7^^ · 5^^6^^ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51765179004000000인 단순군이다.

=== 톰슨 군 ===
톰슨 군 [math(Th)]는 위수가 2^^15^^ · 3^^10^^ · 5^^3^^ · 7^^2^^ · 13 · 19 · 31 = 90745943887872000인 단순군이다.

=== 베이비 몬스터 군 ===
베이비 몬스터 군은 [math(B)]라고 표기하는 군이다.

위수는 2^^41^^ · 3^^13^^ · 5^^6^^ · 7^^2^^ · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4154781481226426191177580544000000이고 산재군 중에서 두번째로 큰 군이다.

=== 몬스터 군 ===
이 군은 [math(m)]이라고 표기하고, 산재군 중에서 가장 큰 군이다.

위수는 2^^46^^ · 3^^20^^ · 5^^9^^ · 7^^6^^ · 11^^2^^ · 13^^3^^ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000이다.

j-불변량과 관련이 있고, 이 관계를 기괴한 문샤인(monstrous moonshine)이라고 한다.

== 포함 관계 ==
산재군은 다음과 같은 포함관계를 갖는다.

[[file:SporadicGroups.svg]]

여기서 연결되어있는 것 중 위에 있는 것이 밑에 있는 것을 부분군으로 가진다.

== 결론 ==
지금까지 본 군들 대부분은 매우 복잡하여 단순군에는 단순군이라는 이름이 어울리지 않다는 것을 확인할 수 있다.

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316001150/http://mathwiki.net/%EC%9C%A0%ED%95%9C%EB%8B%A8%EC%88%9C%EA%B5%B0%EC%9D%98_%EB%AA%A9%EB%A1%9D|링크]])]

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유한단순군의 분류에 의해서 모든 유한단순군은 다음 군들 중 하나와 동형이다.

밑에서 n은 자연수이고, q > 1 는 소수 p의 거듭제곱수이다.

== 무한족 ==
무한족은 무한한 군들의 모임을 말한다.

=== 순환군 ===
순환군은 [math(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})]꼴로 표기하며, p가 소수일 때 이 군은 단순군이다. 위수는 p이다.

=== 교대군 ===
교대군은 [math(A_n)]꼴로 표기하며, n이 5 이상일 때 이 군은 단순군이다.

위수는 n!/2이다. n이 3일때에는 [math(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})]과 동형이라 단순군이지만 이건 이 족에 들어있는 것으로 치지는 않는다.

=== 슈발레 군 ===
==== An(q) ====
[math(A_n(q))]는 n=1이고 q가 2, 3일 때에만 가해군이고, 이외의 경우는 모두 단순군이다.

위수는 [math({1\over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2} \prod_{i=1}^n(q^{i+1}-1))]이다.

==== Bn(q) ====
[math(B_2(2))]는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (2,q-1)}q^{n^2}\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1))]이다.

==== Cn(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (2,q-1)}q^{n^2}\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1))]이다.

==== Dn(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 [math({1\over (4,q^n-1)}q^{n(n-1)}(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1))]이다.

==== En(q) ====
n=6, 7, 8인 경우만 존재하며, 항상 단순군이다.

위수는

이다.

==== F4(q) ====
항상 단순군이다.

위수는 q^^24^^(q^^12^^−1)(q^^8^^−1)(q^^6^^−1)(q^^2^^−1)이다.

==== G2(q) ====
[math(G_2(2))]는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 q^^6^^(q^^6^^−1)(q^^2^^−1)이다.

=== 스즈키 군 ===
스즈키 군은 [math(^2B_2(2^{2n+1}))]와 같이 표기한다.

n이 1 이상일 때 단순군이며, [math(^2B_2(2))]는 가해군이다.

이 군은 [math(Suz(2^{2n+1}))], [math(Sz(2^{2n+1}))]와 같이 표기되기도 한다.

이 군의 위수는 q^^2^^ (q^^2^^ + 1) (q − 1) (단, q = 2^^2n+1^^)이다.

이 군의 위수는 q^^12^^(q6 + 1) (q^^4^^ − 1) (q^^3^^ + 1) (q − 1) (단, q = 2^^2n+1^^)이다.

=== 리 군 ===
이 군에는 대한민국 출생의 캐나다 수학자 이임학의 이름이 붙어있는 군으로 [math(^2G_2(3^{2n+1}))]와 같이 표기한다.

== 산재군 ==
산재군은 총 26개가 존재한다.

==== M,,12,, ====
* [math(M_{12})]는 위수가 2^^6^^ · 3^^3^^ · 5 · 11=95040인 단순군이다.
* [math(M_{12})]는 12개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 5-정추이군이다.

==== M,,22,, ====
* [math(M_{22})]는 위수가 2^^7^^ · 3^^2^^ · 5 · 7 · 11 = 443520인 단순군이다.
* [math(M_{22})]는 22개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 3-추이군이다.

=== 얀코 군 ===
==== J,,1,, ====
[math(J_1)]의 위수는 2^^3^^ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560이다.

원소 개수가 11개인 체의 원소로 이루어진  [math(7\times 7)] 크기의 직교행렬이 이루는 군의 부분군 중 이 행렬로 생성되는 군이다.

여기서 위의 것은 위수가 7이고, 밑의 것은 위수가 5이다.

==== J,,2,, ====
[math(J_2)]의 위수는 2^^7^^ · 3^^3^^ · 5^^2^^ · 7 = 604800이다.

다음 행렬로 군이 생성된다.

이 행렬은 [math({\mathbf A}^2 = {\mathbf B}^3 = ({\mathbf A}{\mathbf B})^7 = ({\mathbf A}{\mathbf B}{\mathbf A}{\mathbf B}{\mathbf B})^{12} = 1)]을 만족시킨다.

==== J,,3,, ====
[math(J_3)]는 위수가 2^^7^^ · 3^^5^^ · 5 · 17 · 19 = 50232960인 단순군이다.

이 군은 다른 산재군과 어떤 포함관계도 가지지 않고, 또한 관계되어있지 않는 것으로 보인다.

==== J,,4,, ====
[math(J_4)]는 위수가 2^^21^^ · 3^^3^^ · 5 · 7 · 11^^3^^ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86775571046077562880인 군이다.

=== 콘웨이 군 ===
==== Co,,1,, ====
[math(Co_1)]는 위수가 2^^21^^ · 3^^9^^ · 5^^4^^ · 7^^2^^ · 11 · 13 · 23 = 4157776806543360000인 군이다.

[math(Co_1)]은 리치 격자의 원점을 고정하는 자기동형사상들의 집합 [math(Co_0)]을 그 중심으로 나눈 몫군이다.

==== Co,,2,, ====
[math(Co_2)]는 위수가 2^^18^^ · 3^^6^^ · 5^^3^^ · 7 · 11 · 23 = 42305421312000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 2인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

==== Co,,3,, ====
[math(Co_3)]는 위수가 2^^10^^ · 3^^7^^ · 5^^3^^ · 7 · 11 · 23 = 495766656000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 4인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

=== 피셔 군 ===
==== Fi,,22,, ====
[math(Fi_{22})]는 위수가 2^^17^^ · 3^^9^^ · 5^^2^^ · 7 · 11 · 13 = 64561751654400인 군이다.

==== Fi,,23,, ====
[math(Fi_{23})]는 위수가 2^^18^^ · 3^^13^^ · 5^^2^^ · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4089470473293004800인 군이다.

==== Fi,,24,, ====
[math(Fi_{24})]는 위수가 2^^21^^ · 3^^16^^ · 5^^2^^ · 7^^3^^ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1255205709190661721292800인 군이다.

=== 히그만-심즈 군 ===
히그만-심즈 군 [math(HS)]는 위수가 2^^9^^ · 3^^2^^ · 5^^3^^· 7 · 11 = 44352000인 단순군이다.

히그만-심즈 군은 히그만-심즈 그래프의 자기동형사상의 index가 2인 부분군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

=== 맥러플린 군 ===
맥러플린 군 [math(McL)]는 위수가 2^^7^^ · 3^^6^^ · 5^^3^^· 7 · 11 = 898128000인 단순군이다.

맥러플린 그래프의 자기동형사상군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

=== 헬드 군 ===
헬드 군 [math(He)]는 위수가 2^^10^^ · 3^^3^^ · 5^^2^^· 7^^3^^· 17 = 4030387200인 단순군이다.

=== 루드발리스 군 ===
루드발리스 군 [math(Ru)]는 위수가 2^^14^^ · 3^^3^^ · 5^^3^^· 7 · 13 · 29 = 145926144000인 단순군이다.

=== 스즈키 산재군 ===
스즈키 산재군 [math(Suz)]는 위수가 2^^13^^ · 3^^7^^ · 5^^2^^· 7 · 11 · 13 = 448345497600인 단순군이다.

=== 오난 군 ===
오난 군 [math(O'N)]는 위수가 2^^9^^ · 3^^4^^ · 5 · 7^^3^^ · 11 · 19 · 31 = 460815505920인 단순군이다.

=== 하라다-노턴 군 ===
하라다-노턴 군 [math(HN)]는 위수가 2^^14^^ · 3^^6^^ · 5^^6^^ · 7 · 11 · 19 = 273030912000000인 단순군이다.

=== 리온스 군 ===
리온스 군 [math(Ly)]는 위수가 2^^8^^ · 3^^7^^ · 5^^6^^ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51765179004000000인 단순군이다.

=== 톰슨 군 ===
톰슨 군 [math(Th)]는 위수가 2^^15^^ · 3^^10^^ · 5^^3^^ · 7^^2^^ · 13 · 19 · 31 = 90745943887872000인 단순군이다.

=== 베이비 몬스터 군 ===
베이비 몬스터 군은 [math(B)]라고 표기하는 군이다.

위수는 2^^41^^ · 3^^13^^ · 5^^6^^ · 7^^2^^ · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4154781481226426191177580544000000이고 산재군 중에서 두번째로 큰 군이다.

=== 몬스터 군 ===
이 군은 [math(m)]이라고 표기하고, 산재군 중에서 가장 큰 군이다.

위수는 2^^46^^ · 3^^20^^ · 5^^9^^ · 7^^6^^ · 11^^2^^ · 13^^3^^ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000이다.

j-불변량과 관련이 있고, 이 관계를 기괴한 문샤인(monstrous moonshine)이라고 한다.

== 포함 관계 ==
산재군은 다음과 같은 포함관계를 갖는다.

[[file:SporadicGroups.svg]]

여기서 연결되어있는 것 중 위에 있는 것이 밑에 있는 것을 부분군으로 가진다.

== 결론 ==
지금까지 본 군들 대부분은 매우 복잡하여 단순군에는 단순군이라는 이름이 어울리지 않다는 것을 확인할 수 있다.

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