유한단순군의 목록

유한단순군의 분류에 의해서 모든 유한단순군은 다음 군들 중 하나와 동형이다.

밑에서 n은 자연수이고, q > 1 는 소수 p의 거듭제곱수이다.

목차

1. 무한족
1.1. 순환군
1.2. 교대군
1.3. 슈발레 군
1.3.1. An(q)
1.3.2. Bn(q)
1.3.3. Cn(q)
1.3.4. Dn(q)
1.3.5. En(q)
1.3.6. F4(q)
1.3.7. G2(q)
1.4. 스즈키 군
1.5. 리 군, 티츠 군
1.6. 리 군
2. 산재군
2.1. 마티외 군
2.1.1. M11
2.1.2. M12
2.1.3. M22
2.1.4. M23
2.1.5. M24
2.2. 얀코 군
2.2.1. J1
2.2.2. J2
2.2.3. J3
2.2.4. J4
2.3. 콘웨이 군
2.3.1. Co1
2.3.2. Co2
2.3.3. Co3
2.4. 피셔 군
2.4.1. Fi22
2.4.2. Fi23
2.4.3. Fi24
2.5. 히그만-심즈 군
2.6. 맥러플린 군
2.7. 헬드 군
2.8. 루드발리스 군
2.9. 스즈키 산재군
2.10. 오난 군
2.11. 하라다-노턴 군
2.12. 리온스 군
2.13. 톰슨 군
2.14. 베이비 몬스터 군
2.15. 몬스터 군
3. 포함 관계
4. 결론

1. 무한족 _{✎ ⊖}

무한족은 무한한 군들의 모임을 말한다.

1.1. 순환군 _{✎ ⊖}

순환군은 \\mathbb{Z}/p\\mathbb{Z}꼴로 표기하며, p가 소수일 때 이 군은 단순군이다. 위수는 p이다.

1.2. 교대군 _{✎ ⊖}

교대군은 A_n꼴로 표기하며, n이 5 이상일 때 이 군은 단순군이다.

위수는 n!/2이다. n이 3일때에는 \\mathbb{Z}/3\\mathbb{Z}과 동형이라 단순군이지만 이건 이 족에 들어있는 것으로 치지는 않는다.

1.3. 슈발레 군 _{✎ ⊖}

1.3.1. An(q) _{✎ ⊖}

A_n(q)는 n=1이고 q가 2, 3일 때에만 가해군이고, 이외의 경우는 모두 단순군이다.

위수는 {1\\over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2} \\prod_{i=1}^n(q^{i+1}-1)이다.

1.3.2. Bn(q) _{✎ ⊖}

B_2(2)는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 {1\\over (2,q-1)}q^{n^2}\\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)이다.

1.3.3. Cn(q) _{✎ ⊖}

항상 단순군이다.

위수는 {1\\over (2,q-1)}q^{n^2}\\prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)이다.

1.3.4. Dn(q) _{✎ ⊖}

항상 단순군이다.

위수는 {1\\over (4,q^n-1)}q^{n(n-1)}(q^n-1)\\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)이다.

1.3.5. En(q) _{✎ ⊖}

n=6, 7, 8인 경우만 존재하며, 항상 단순군이다.

위수는

n=6이면 q³⁶(q¹²−1)(q⁹-1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵−1)(q²−1)/(3,q−1)
n=7이면 q⁶³(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q¹⁰−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)/(2,q−1)
n=8이면 q¹²⁰(q³⁰−1)(q²⁴−1)(q²⁰−1)(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q⁸−1)(q²−1)

이다.

1.3.6. F4(q) _{✎ ⊖}

항상 단순군이다.

위수는 q²⁴(q¹²−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1)이다.

1.3.7. G2(q) _{✎ ⊖}

G_2(2)는 단순군이 아니지만, 이것의 index가 2인 derived group은 단순군이고, 나머지는 항상 단순군이다.

위수는 q⁶(q⁶−1)(q²−1)이다.

1.4. 스즈키 군 _{✎ ⊖}

스즈키 군은 ^2B_2(2^{2n+1})와 같이 표기한다.

n이 1 이상일 때 단순군이며, ^2B_2(2)는 가해군이다.

이 군은 Suz(2^{2n+1}), Sz(2^{2n+1})와 같이 표기되기도 한다.

이 군의 위수는 q² (q² + 1) (q − 1) (단, q = 2²ⁿ⁺¹)이다.

1.5. 리 군, 티츠 군 _{✎ ⊖}

이 군은 대한민국 출생의 캐나다 수학자 이임학의 이름이 붙어있는 군으로 ^2F_4(2^{2n+1})와 같이 표기한다. n이 1 이상일 때 단순군이고, ^2F_4(2)의 index가 2인 derived group ^2F_4(2)'를 티츠 군이라고 한다.

이 군의 위수는 q¹²(q6 + 1) (q⁴ − 1) (q³ + 1) (q − 1) (단, q = 2²ⁿ⁺¹)이다.

1.6. 리 군 _{✎ ⊖}

이 군에는 대한민국 출생의 캐나다 수학자 이임학의 이름이 붙어있는 군으로 ^2G_2(3^{2n+1})와 같이 표기한다.

n이 1 이상일 때 단순군이며, ^2G_2(3)은 가해군이지만 index가 3인 derived group이 존재해서 그 군은 단순군이며, ^2G_2(3)'와 같이 표기한다. 위수는 q³ (q³ + 1) (q − 1) (단, q = 3²ⁿ⁺¹)이다.

2. 산재군 _{✎ ⊖}

산재군은 총 26개가 존재한다.

2.1. 마티외 군 _{✎ ⊖}

2.1.1. M₁₁ _{✎ ⊖}

M_{11}은 위수가 2⁴ · 3² · 5 · 11=7920인 단순군이다.
S_{11}의 부분군으로 두 원소 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), (3,7,11,8)(4,10,5,6)를 생성원으로 가지는 군이다.
M_{11}은 11개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 4-정추이군이다.

2.1.2. M₁₂ _{✎ ⊖}

M_{12}는 위수가 2⁶ · 3³ · 5 · 11=95040인 단순군이다.
M_{12}는 12개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 5-정추이군이다.

2.1.3. M₂₂ _{✎ ⊖}

M_{22}는 위수가 2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 = 443520인 단순군이다.
M_{22}는 22개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 3-추이군이다.

2.1.4. M₂₃ _{✎ ⊖}

M_{23}은 위수가 2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 · 23=10200960인 단순군이다.
M_{23}은 23개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 4-추이군이다.

2.1.5. M₂₄ _{✎ ⊖}

M_{24}는 위수가 2¹⁰ · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23= 244823040인 단순군이다.
M_{24}는 24개의 원소를 가지는 집합에 작용하는 5-추이군이다.

2.2. 얀코 군 _{✎ ⊖}

2.2.1. J₁ _{✎ ⊖}

J_1의 위수는 2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560이다.

원소 개수가 11개인 체의 원소로 이루어진 7\\times 7 크기의 직교행렬이 이루는 군의 부분군 중 이 행렬로 생성되는 군이다.

{\\mathbf Y} = \\left ( \\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\end{matrix} \\right)

{\\mathbf Z} = \\left ( \\begin{matrix}-3 & +2 & -1 & -1 & -3 & -1 & -3 \\\\-2 & +1 & +1 & +3 & +1 & +3 & +3 \\\\-1 & -1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 \\\\-1 & -3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 \\\\-3 & -1 & -3 & -3 & +2 & -1 & -1 \\\\+1 & +3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 \\\\+3 & +3 & -2 & +1 & +1 & +3 & +1 \\end{matrix} \\right)

여기서 위의 것은 위수가 7이고, 밑의 것은 위수가 5이다.

2.2.2. J₂ _{✎ ⊖}

J_2의 위수는 2⁷ · 3³ · 5² · 7 = 604800이다.

다음 행렬로 군이 생성된다.

{\\mathbf A} = \\left ( \\begin{matrix}w^2 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & w^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & w^2 & w^2 & 0 & 0 \\\\ w & 1 & 1 & w^2 & 0 & 0 \\\\ 0 & w^2 & w^2 & w^2 & 0 & w \\\\ w^2 & 1 & w^2 & 0 & w^2 & 0 \\end{matrix} \\right)

{\\mathbf B} = \\left ( \\begin{matrix}w & 1 & w^2 & 1 & w^2 & w^2 \\\\ w & 1 & w & 1 & 1 & w \\\\ w & w & w^2 & w^2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ w^2 & 1 & w^2 & w^2 & w & w^2 \\\\ w^2 & 1 & w^2 & w & w^2 & w \\end{matrix} \\right)

이 행렬은 {\\mathbf A}^2 = {\\mathbf B}^3 = ({\\mathbf A}{\\mathbf B})^7 = ({\\mathbf A}{\\mathbf B}{\\mathbf A}{\\mathbf B}{\\mathbf B})^{12} = 1을 만족시킨다.

2.2.3. J₃ _{✎ ⊖}

J_3는 위수가 2⁷ · 3⁵ · 5 · 17 · 19 = 50232960인 단순군이다.

이 군은 다른 산재군과 어떤 포함관계도 가지지 않고, 또한 관계되어있지 않는 것으로 보인다.

2.2.4. J₄ _{✎ ⊖}

J_4는 위수가 2²¹ · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86775571046077562880인 군이다.

2.3. 콘웨이 군 _{✎ ⊖}

2.3.1. Co₁ _{✎ ⊖}

Co_1는 위수가 2²¹ · 3⁹ · 5⁴ · 7² · 11 · 13 · 23 = 4157776806543360000인 군이다.

Co_1은 리치 격자의 원점을 고정하는 자기동형사상들의 집합 Co_0을 그 중심으로 나눈 몫군이다.

2.3.2. Co₂ _{✎ ⊖}

Co_2는 위수가 2¹⁸ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11 · 23 = 42305421312000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 2인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

2.3.3. Co₃ _{✎ ⊖}

Co_3는 위수가 2¹⁰ · 3⁷ · 5³ · 7 · 11 · 23 = 495766656000인 군이다.

리치 격자의 원점과 길이 4인 벡터를 고정하는 자기동형사상들의 집합이다.

2.4. 피셔 군 _{✎ ⊖}

2.4.1. Fi₂₂ _{✎ ⊖}

Fi_{22}는 위수가 2¹⁷ · 3⁹ · 5² · 7 · 11 · 13 = 64561751654400인 군이다.

2.4.2. Fi₂₃ _{✎ ⊖}

Fi_{23}는 위수가 2¹⁸ · 3¹³ · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4089470473293004800인 군이다.

2.4.3. Fi₂₄ _{✎ ⊖}

Fi_{24}는 위수가 2²¹ · 3¹⁶ · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1255205709190661721292800인 군이다.

2.5. 히그만-심즈 군 _{✎ ⊖}

히그만-심즈 군 HS는 위수가 2⁹ · 3² · 5³· 7 · 11 = 44352000인 단순군이다.

히그만-심즈 군은 히그만-심즈 그래프의 자기동형사상의 index가 2인 부분군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

2.6. 맥러플린 군 _{✎ ⊖}

맥러플린 군 McL는 위수가 2⁷ · 3⁶ · 5³· 7 · 11 = 898128000인 단순군이다.

맥러플린 그래프의 자기동형사상군이다.

리치 격자의 길이가 4, 6, 6인 한 꼭지점이 원점인 삼각형을 고정하는 자기동형사상들의 집합과 동형이다.

2.7. 헬드 군 _{✎ ⊖}

헬드 군 He는 위수가 2¹⁰ · 3³ · 5²· 7³· 17 = 4030387200인 단순군이다.

2.8. 루드발리스 군 _{✎ ⊖}

루드발리스 군 Ru는 위수가 2¹⁴ · 3³ · 5³· 7 · 13 · 29 = 145926144000인 단순군이다.

2.9. 스즈키 산재군 _{✎ ⊖}

스즈키 산재군 Suz는 위수가 2¹³ · 3⁷ · 5²· 7 · 11 · 13 = 448345497600인 단순군이다.

2.10. 오난 군 _{✎ ⊖}

오난 군 O'N는 위수가 2⁹ · 3⁴ · 5 · 7³ · 11 · 19 · 31 = 460815505920인 단순군이다.

2.11. 하라다-노턴 군 _{✎ ⊖}

하라다-노턴 군 HN는 위수가 2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19 = 273030912000000인 단순군이다.

2.12. 리온스 군 _{✎ ⊖}

리온스 군 Ly는 위수가 2⁸ · 3⁷ · 5⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51765179004000000인 단순군이다.

2.13. 톰슨 군 _{✎ ⊖}

톰슨 군 Th는 위수가 2¹⁵ · 3¹⁰ · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31 = 90745943887872000인 단순군이다.

2.14. 베이비 몬스터 군 _{✎ ⊖}

베이비 몬스터 군은 B라고 표기하는 군이다.

위수는 2⁴¹ · 3¹³ · 5⁶ · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4154781481226426191177580544000000이고 산재군 중에서 두번째로 큰 군이다.

2.15. 몬스터 군 _{✎ ⊖}

이 군은 m이라고 표기하고, 산재군 중에서 가장 큰 군이다.

위수는 2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000이다.

j-불변량과 관련이 있고, 이 관계를 기괴한 문샤인(monstrous moonshine)이라고 한다.

3. 포함 관계 _{✎ ⊖}

산재군은 다음과 같은 포함관계를 갖는다.

여기서 연결되어있는 것 중 위에 있는 것이 밑에 있는 것을 부분군으로 가진다.

4. 결론 _{✎ ⊖}

지금까지 본 군들 대부분은 매우 복잡하여 단순군에는 단순군이라는 이름이 어울리지 않다는 것을 확인할 수 있다.

유한단순군의 목록

1. 무한족 ✎ ⊖

1.1. 순환군 ✎ ⊖

1.2. 교대군 ✎ ⊖

1.3. 슈발레 군 ✎ ⊖

1.3.1. An(q) ✎ ⊖

1.3.2. Bn(q) ✎ ⊖

1.3.3. Cn(q) ✎ ⊖

1.3.4. Dn(q) ✎ ⊖

1.3.5. En(q) ✎ ⊖

1.3.6. F4(q) ✎ ⊖

1.3.7. G2(q) ✎ ⊖

1.4. 스즈키 군 ✎ ⊖

1.5. 리 군, 티츠 군 ✎ ⊖

1.6. 리 군 ✎ ⊖

2. 산재군 ✎ ⊖

2.1. 마티외 군 ✎ ⊖

2.1.1. M11 ✎ ⊖

2.1.2. M12 ✎ ⊖

2.1.3. M22 ✎ ⊖

2.1.4. M23 ✎ ⊖

2.1.5. M24 ✎ ⊖

2.2. 얀코 군 ✎ ⊖

2.2.1. J1 ✎ ⊖

2.2.2. J2 ✎ ⊖

2.2.3. J3 ✎ ⊖

2.2.4. J4 ✎ ⊖

2.3. 콘웨이 군 ✎ ⊖

2.3.1. Co1 ✎ ⊖

2.3.2. Co2 ✎ ⊖

2.3.3. Co3 ✎ ⊖

2.4. 피셔 군 ✎ ⊖

2.4.1. Fi22 ✎ ⊖

2.4.2. Fi23 ✎ ⊖

2.4.3. Fi24 ✎ ⊖

2.5. 히그만-심즈 군 ✎ ⊖

2.6. 맥러플린 군 ✎ ⊖

2.7. 헬드 군 ✎ ⊖

2.8. 루드발리스 군 ✎ ⊖

2.9. 스즈키 산재군 ✎ ⊖

2.10. 오난 군 ✎ ⊖

2.11. 하라다-노턴 군 ✎ ⊖

2.12. 리온스 군 ✎ ⊖

2.13. 톰슨 군 ✎ ⊖

2.14. 베이비 몬스터 군 ✎ ⊖

2.15. 몬스터 군 ✎ ⊖

3. 포함 관계 ✎ ⊖

4. 결론 ✎ ⊖