이차방정식 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Quadratic equation

[[다항식|다항]]방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
><math>ax^2+bx+c=0</math>
여기서 [math(a\neq 0)]이다.

== 근의 공식 ==
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0　(a\neq 0))] 에 대하여
* <math>x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math>
* <math>x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}</math>
* <math>(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math>
* <math>\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

이므로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.

=== 짝수 공식 ===
일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 [math(ax^2+2b'x+c=0　(a\neq 0))] 은 특별히 근의 공식에서 [math(b=2b')] 로 놓으면
><math> x=\frac{-2b'\pm\sqrt{4b'^2-4ac}}{2a}=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}</math>
이므로 더 간단한 방법으로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 짝수 공식이라고도 한다.

== 근과 계수 사이의 관계 ==
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0　(a\neq 0))]의 두 근을 [math(\alpha)], [math(\beta)] 라 하자.
이차방정식의 근 [math(x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}　(D=b^2-4ac))] 의 두 근을 더하면
><math> \alpha+\beta = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}  + \frac{-b- \sqrt{D}}{2a}=-\frac{b}{a}</math>
이고 두 근을 곱하면
><math> \alpha\beta =  \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\centerdot\frac{-b- \sqrt{D}}{2a} = \frac{b^2-D}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}</math>
이다.

== 판별식 ==
이차방정식 [math(ax^2+bx+c=0　(a\neq 0))] 의 판별식은 근의 공식에서 근호가 있어 근의 갯수를 결정하는 [math(b^2-4ac)] 이다.

* [math(b^2-4ac >0)] 이면 서로 다른 실근을 2개 갖는다.
* [math(b^2-4ac =0)] 이면 이중근인 실근 1개를 갖는다.
* [math(b^2-4ac<0)] 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

== 이차방정식의 작성 ==
식의 값을 0으로 만드는 미지수의 값이 근이므로 두 근이 [math(\alpha, \beta)] 인 이차방정식은 [math(a(x-\alpha)(x-\beta)=0)] ([math(a\neq 0)]는 이차항의 계수)라고 쓸 수 있다.

따라서 모든 이차식 [math(ax^2+bx+c　(a\neq 0))]은 [[복소수]] 범위에서
><math>a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})</math>
로 인수분해됨을 알 수 있다.

== 영상 ==
[youtube(DDZ8vvoQC7g)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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