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Quadratic equation
다항방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^2+bx+c=0
여기서 a\\neq 0이다.
1. 근의 공식 ✎ ⊖
이차방정식 ax^2+bx+c=0 (a\\neq 0) 에 대하여
이므로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.
- x^2+\\frac{b}{a}x=-\\frac{c}{a}
- x^2+\\frac{b}{a}x+\\frac{b^2}{4a^2}=-\\frac{c}{a}+\\frac{b^2}{4a^2}
- (x+\\frac{b}{2a})^2=-\\frac{b^2-4ac}{4a^2}
- \\therefore x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
이므로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.
1.1. 짝수 공식 ✎ ⊖
일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 ax^2+2b'x+c=0 (a\\neq 0) 은 특별히 근의 공식에서 b=2b' 로 놓으면
이므로 더 간단한 방법으로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 짝수 공식이라고도 한다.
x=\\frac{-2b'\\pm\\sqrt{4b'^2-4ac}}{2a}=\\frac{-b'\\pm\\sqrt{b'^2-ac}}{a}
이므로 더 간단한 방법으로 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다. 이를 짝수 공식이라고도 한다.
2. 근과 계수 사이의 관계 ✎ ⊖
이차방정식 ax^2+bx+c=0 (a\\neq 0)의 두 근을 \\alpha, \\beta 라 하자.
이차방정식의 근 x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{D}}{2a} (D=b^2-4ac) 의 두 근을 더하면
이고 두 근을 곱하면
이다.
이차방정식의 근 x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{D}}{2a} (D=b^2-4ac) 의 두 근을 더하면
\\alpha+\\beta = \\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a} + \\frac{-b- \\sqrt{D}}{2a}=-\\frac{b}{a}
이고 두 근을 곱하면
\\alpha\\beta = \\frac{-b+\\sqrt{D}}{2a}\\centerdot\\frac{-b- \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{b^2-D}{4a^2} = \\frac{4ac}{4a^2} = \\frac{c}{a}
이다.
3. 판별식 ✎ ⊖
이차방정식 ax^2+bx+c=0 (a\\neq 0) 의 판별식은 근의 공식에서 근호가 있어 근의 갯수를 결정하는 b^2-4ac 이다.
- b^2-4ac >0 이면 서로 다른 실근을 2개 갖는다.
- b^2-4ac =0 이면 이중근인 실근 1개를 갖는다.
- b^2-4ac<0 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
4. 이차방정식의 작성 ✎ ⊖
식의 값을 0으로 만드는 미지수의 값이 근이므로 두 근이 \\alpha, \\beta 인 이차방정식은 a(x-\\alpha)(x-\\beta)=0 (a\\neq 0는 이차항의 계수)라고 쓸 수 있다.
따라서 모든 이차식 ax^2+bx+c (a\\neq 0)은 복소수 범위에서
로 인수분해됨을 알 수 있다.
따라서 모든 이차식 ax^2+bx+c (a\\neq 0)은 복소수 범위에서
a(x-\\frac{-b+\\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\\frac{-b-\\sqrt{b^2-4ac}}{2a})
로 인수분해됨을 알 수 있다.
