짧은 완전열 (편집)

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[[분류:가져온 문서/오메가]]
완전열의 특수한 경우로 [math(\mathcal{C})]가 abelian category고 [math(A,B,C)]가 [math(\mathcal{C})]의 object일 때 [math(0\to A\to B\to C\to 0)]꼴의 exact sequence를 말한다. 이는 [math(A\to B)]쪽의 morphism을 [math(f)]라고 하고 [math(B\to C)]쪽의 morphism을 [math(g)]라고 하면 [math(f)]가 단사이고 [math(g)]가 전사이면서 [math(\text{Im}\,f=\text{Ker}\,g)]인 것과 같다.

== 성질 ==
[math(A,B,C)]가 finite group이고 [math( 0\to A\to B\to C\to 0)]이라는 short exact sequence가 있으면 [math(|B|=|A||C|)]가 성립한다.

[math(\mathscr{F})]가 projective scheme [math(X)]에서 sheaf이고 [math(\chi(\mathscr{F}))]가 [math(\chi(\mathscr{F})=\sum^{2n}_{i=0}(-1)^i\dim{H^{i}(X,\mathscr{F})})]라고 정의되는 Euler characteristic이고 [math(X)] 위의 sheaf [math(\mathscr{F}^{\prime},\mathscr{F},\mathscr{F}^{\prime\prime})]에 대해서 [math(0\to \mathscr{F}^{\prime}\to \mathscr{F}\to \mathscr{F}^{\prime \prime}\to 0)]이 short exact sequence라면 [math(\chi(\mathscr{F})=\chi(\mathscr{F}^{\prime})+\chi(\mathscr{F}^{\prime\prime}))]이 성립한다.

== Ext functor와의 관계 ==
[math(A,C)]가 [math(R)]-module일 때 이것들의 Ext functor [math(\text{Ext}^1_{R}(A,C))]와 [math(0\to A\to B\to C\to 0)]가 short exact sequence가 되게 하는 [math(B)]들 사이에는 bijection이 존재한다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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== 성질 ==
[math(A,B,C)]가 finite group이고 [math( 0\to A\to B\to C\to 0)]이라는 short exact sequence가 있으면 [math(|B|=|A||C|)]가 성립한다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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