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완전열의 특수한 경우로 \\mathcal{C}가 abelian category고 A,B,C가 \\mathcal{C}의 object일 때 0\\to A\\to B\\to C\\to 0꼴의 exact sequence를 말한다. 이는 A\\to B쪽의 morphism을 f라고 하고 B\\to C쪽의 morphism을 g라고 하면 f가 단사이고 g가 전사이면서 \\text{Im}\\,f=\\text{Ker}\\,g인 것과 같다.
1. 성질 ✎ ⊖
A,B,C가 finite group이고 0\\to A\\to B\\to C\\to 0이라는 short exact sequence가 있으면 |B|=|A||C|가 성립한다.
\\mathscr{F}가 projective scheme X에서 sheaf이고 \\chi(\\mathscr{F})가 \\chi(\\mathscr{F})=\\sum^{2n}_{i=0}(-1)^i\\dim{H^{i}(X,\\mathscr{F})}라고 정의되는 Euler characteristic이고 X 위의 sheaf \\mathscr{F}^{\\prime},\\mathscr{F},\\mathscr{F}^{\\prime\\prime}에 대해서 0\\to \\mathscr{F}^{\\prime}\\to \\mathscr{F}\\to \\mathscr{F}^{\\prime \\prime}\\to 0이 short exact sequence라면 \\chi(\\mathscr{F})=\\chi(\\mathscr{F}^{\\prime})+\\chi(\\mathscr{F}^{\\prime\\prime})이 성립한다.
\\mathscr{F}가 projective scheme X에서 sheaf이고 \\chi(\\mathscr{F})가 \\chi(\\mathscr{F})=\\sum^{2n}_{i=0}(-1)^i\\dim{H^{i}(X,\\mathscr{F})}라고 정의되는 Euler characteristic이고 X 위의 sheaf \\mathscr{F}^{\\prime},\\mathscr{F},\\mathscr{F}^{\\prime\\prime}에 대해서 0\\to \\mathscr{F}^{\\prime}\\to \\mathscr{F}\\to \\mathscr{F}^{\\prime \\prime}\\to 0이 short exact sequence라면 \\chi(\\mathscr{F})=\\chi(\\mathscr{F}^{\\prime})+\\chi(\\mathscr{F}^{\\prime\\prime})이 성립한다.
2. Ext functor와의 관계 ✎ ⊖
A,C가 R-module일 때 이것들의 Ext functor \\text{Ext}^1_{R}(A,C)와 0\\to A\\to B\\to C\\to 0가 short exact sequence가 되게 하는 B들 사이에는 bijection이 존재한다.
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