최대·최소 정리 (편집)

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Extreme value theorem, EVT

유계된 함수에는 반드시 최댓값과 최솟값이 존재한다는 정리이다.

== 진술 ==
[math(f:\mathbb R \to \mathbb R)]가 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, [math(\exists M, m\in[a,b] \ s.t. \ f(M) = \max\{f(x)\}, \ f(m) = \min\{f(x)\})]이다.

== 증명 ==
먼저 [math(f(x))]가 유계임을 증명한 후 최댓값과 최솟값이 존재함을 보인다.

=== [math(f(x))]의 유계를 증명 ===
먼저 집합 하나를 생각해보자.
>[math(\mathbb S = \{x\in[a, b]|f \rm \ is \ bounded \ in)] [math([a, x])\})]

함수 [math(f)]는 [math(x=a)]에서 연속이므로 유계이다. 따라서 [math(a\in\mathbb S)]이다.

[math(a)]가 [math(\mathbb S)]의 원소이기 때문에, [math(\mathbb S)]는 공집합이 될 수 없고, 그러므로 [math(\Bbb{S})]의 최소상계 [math(c)]이 존재한다. [math(c = \sup \mathbb S)]라 하자. 여기서 [math(\mathbb S\subset [a, b])]이므로 [math(c\leq b)]이다.

만약 [math(c < b)]라면 [math(f)]는 [math(x=c)]에서 연속이고, [math(f)]가 [math([c-\delta, c+\delta])]에서 유계인 [math(\delta)]가 존재한다. [math(c+\delta)]도 [math(\mathbb S)]의 원소이기 때문에 [math(c = \sup \mathbb S)]에 모순이다. 따라서 [math(c=b)].

모든 [math(\epsilon> 0)]에 대하여 [math(f)]가 [math([a, b-\epsilon] \subseteq[a, b))]에서 유계이고, [* b가 S의 원소임.] [math([b-\epsilon, b])]에서 유계이기 때문에[* [math(f:x=b)]에서 연속] [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다.

=== 최댓값의 존재를 증명 ===
[math(\mathbb T = \{f(x)|x\in[a, b]\})]는 위 증명에 의해 유계이고, 상한 [math(M=\sup \mathbb T)]이 존재한다.

다음 함수를 생각해보자. 
>[math(g(x) = \displaystyle\frac 1 {M-f(x)})]

함수 [math(g(x))]는 [math(M=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이라 하자.

[math(g(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall\epsilon>0 \ \exists x_1 \in[a,b]\ s.t.\ M-\epsilon<f(x_1)<M \equiv 0<M-f(x_1)<\epsilon)]이다.

따라서 [math(g(x_1))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {M-f(x_1)} > \displaystyle\frac 1 \epsilon )]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(g(x_1))]은 발산하며, [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이다.

=== 최솟값의 존재를 증명 ===
[math(\mathbb T)]의 하한 [math(M=\inf \mathbb T)]이 존재한다.

다음 함수를 생각해보자.
>[math(h(x) = \displaystyle\frac 1 {f(x)-m})]

함수 [math(h(x))]는 [math(m=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이라 하자.

[math(h(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall \epsilon >0 \ \exists x_2 \in[a, b] \ s.t. \ m<f(x_2)<m+\epsilon \equiv 0<f(x_2)<\epsilon)]이다.

따라서 [math(h(x_2))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {f(x_2)-m} > \displaystyle\frac 1 \epsilon)]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(h(x_2))]은 발산하며, [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이다.

== 영상 ==
[youtube(4jPrco252Y4)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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