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Extreme value theorem, EVT
유계된 함수에는 반드시 최댓값과 최솟값이 존재한다는 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
f:\\mathbb R \\to \\mathbb R가 구간 [a, b]에서 연속이면, \\exists M, m\\in[a,b] \\ s.t. \\ f(M) = \\max\\{f(x)\\}, \\ f(m) = \\min\\{f(x)\\}이다.
2. 증명 ✎ ⊖
먼저 f(x)가 유계임을 증명한 후 최댓값과 최솟값이 존재함을 보인다.
2.1. f(x)의 유계를 증명 ✎ ⊖
먼저 집합 하나를 생각해보자.
함수 f는 x=a에서 연속이므로 유계이다. 따라서 a\\in\\mathbb S이다.
a가 \\mathbb S의 원소이기 때문에, \\mathbb S는 공집합이 될 수 없고, 그러므로 \\Bbb{S}의 최소상계 c이 존재한다. c = \\sup \\mathbb S라 하자. 여기서 \\mathbb S\\subset [a, b]이므로 c\\leq b이다.
만약 c < b라면 f는 x=c에서 연속이고, f가 [c-\\delta, c+\\delta]에서 유계인 \\delta가 존재한다. c+\\delta도 \\mathbb S의 원소이기 때문에 c = \\sup \\mathbb S에 모순이다. 따라서 c=b.
모든 \\epsilon> 0에 대하여 f가 [a, b-\\epsilon] \\subseteq[a, b)에서 유계이고, (1) [b-\\epsilon, b]에서 유계이기 때문에(2) f는 [a, b]에서 유계이다.
\\mathbb S = \\{x\\in[a, b]|f \\rm \\ is \\ bounded \\ in [a, x])\\}
함수 f는 x=a에서 연속이므로 유계이다. 따라서 a\\in\\mathbb S이다.
a가 \\mathbb S의 원소이기 때문에, \\mathbb S는 공집합이 될 수 없고, 그러므로 \\Bbb{S}의 최소상계 c이 존재한다. c = \\sup \\mathbb S라 하자. 여기서 \\mathbb S\\subset [a, b]이므로 c\\leq b이다.
만약 c < b라면 f는 x=c에서 연속이고, f가 [c-\\delta, c+\\delta]에서 유계인 \\delta가 존재한다. c+\\delta도 \\mathbb S의 원소이기 때문에 c = \\sup \\mathbb S에 모순이다. 따라서 c=b.
모든 \\epsilon> 0에 대하여 f가 [a, b-\\epsilon] \\subseteq[a, b)에서 유계이고, (1) [b-\\epsilon, b]에서 유계이기 때문에(2) f는 [a, b]에서 유계이다.
2.2. 최댓값의 존재를 증명 ✎ ⊖
\\mathbb T = \\{f(x)|x\\in[a, b]\\}는 위 증명에 의해 유계이고, 상한 M=\\sup \\mathbb T이 존재한다.
다음 함수를 생각해보자.
함수 g(x)는 M=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로 \\not\\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M이라 하자.
g(x)는 [a, b]에서 연속이므로 \\forall\\epsilon>0 \\ \\exists x_1 \\in[a,b]\\ s.t.\\ M-\\epsilon<f(x_1)<M \\equiv 0<M-f(x_1)<\\epsilon이다.
따라서 g(x_1)는 \\displaystyle\\frac 1 {M-f(x_1)} > \\displaystyle\\frac 1 \\epsilon 이고, \\epsilon\\to 0^+이면 g(x_1)은 발산하며, \\not\\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 \\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M이다.
다음 함수를 생각해보자.
g(x) = \\displaystyle\\frac 1 {M-f(x)}
함수 g(x)는 M=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로 \\not\\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M이라 하자.
g(x)는 [a, b]에서 연속이므로 \\forall\\epsilon>0 \\ \\exists x_1 \\in[a,b]\\ s.t.\\ M-\\epsilon<f(x_1)<M \\equiv 0<M-f(x_1)<\\epsilon이다.
따라서 g(x_1)는 \\displaystyle\\frac 1 {M-f(x_1)} > \\displaystyle\\frac 1 \\epsilon 이고, \\epsilon\\to 0^+이면 g(x_1)은 발산하며, \\not\\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 \\exists c \\ s.t.\\ f(c)=M이다.
2.3. 최솟값의 존재를 증명 ✎ ⊖
\\mathbb T의 하한 M=\\inf \\mathbb T이 존재한다.
다음 함수를 생각해보자.
함수 h(x)는 m=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로 \\not\\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m이라 하자.
h(x)는 [a, b]에서 연속이므로 \\forall \\epsilon >0 \\ \\exists x_2 \\in[a, b] \\ s.t. \\ m<f(x_2)<m+\\epsilon \\equiv 0<f(x_2)<\\epsilon이다.
따라서 h(x_2)는 \\displaystyle\\frac 1 {f(x_2)-m} > \\displaystyle\\frac 1 \\epsilon이고, \\epsilon\\to 0^+이면 h(x_2)은 발산하며, \\not\\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 \\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m이다.
다음 함수를 생각해보자.
h(x) = \\displaystyle\\frac 1 {f(x)-m}
함수 h(x)는 m=f(x)인 경우를 제외하면 유계이므로 \\not\\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m이라 하자.
h(x)는 [a, b]에서 연속이므로 \\forall \\epsilon >0 \\ \\exists x_2 \\in[a, b] \\ s.t. \\ m<f(x_2)<m+\\epsilon \\equiv 0<f(x_2)<\\epsilon이다.
따라서 h(x_2)는 \\displaystyle\\frac 1 {f(x_2)-m} > \\displaystyle\\frac 1 \\epsilon이고, \\epsilon\\to 0^+이면 h(x_2)은 발산하며, \\not\\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 \\exists d \\ s.t.\\ f(d)=m이다.
