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1829,2443
=== 최솟값의 존재를 증명 === [math(\mathbb T)]의 하한 [math(M=\inf \mathbb T)]이 존재한다. 다음 함수를 생각해보자. >[math(h(x) = \displaystyle\frac 1 {f(x)-m})] 함수 [math(h(x))]는 [math(m=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이라 하자. [math(h(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall \epsilon >0 \ \exists x_2 \in[a, b] \ s.t. \ m<f(x_2)<m+\epsilon \equiv 0<f(x_2)<\epsilon)]이다. 따라서 [math(h(x_2))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {f(x_2)-m} > \displaystyle\frac 1 \epsilon)]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(h(x_2))]은 발산하며, [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이다.
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=== 최솟값의 존재를 증명 === [math(\mathbb T)]의 하한 [math(M=\inf \mathbb T)]이 존재한다. 다음 함수를 생각해보자. >[math(h(x) = \displaystyle\frac 1 {f(x)-m})] 함수 [math(h(x))]는 [math(m=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이라 하자. [math(h(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall \epsilon >0 \ \exists x_2 \in[a, b] \ s.t. \ m<f(x_2)<m+\epsilon \equiv 0<f(x_2)<\epsilon)]이다. 따라서 [math(h(x_2))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {f(x_2)-m} > \displaystyle\frac 1 \epsilon)]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(h(x_2))]은 발산하며, [math(\not\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists d \ s.t.\ f(d)=m)]이다.
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