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=== 최댓값의 존재를 증명 === [math(\mathbb T = \{f(x)|x\in[a, b]\})]는 위 증명에 의해 유계이고, 상한 [math(M=\sup \mathbb T)]이 존재한다. 다음 함수를 생각해보자. >[math(g(x) = \displaystyle\frac 1 {M-f(x)})] 함수 [math(g(x))]는 [math(M=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이라 하자. [math(g(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall\epsilon>0 \ \exists x_1 \in[a,b]\ s.t.\ M-\epsilon<f(x_1)<M \equiv 0<M-f(x_1)<\epsilon)]이다. 따라서 [math(g(x_1))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {M-f(x_1)} > \displaystyle\frac 1 \epsilon )]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(g(x_1))]은 발산하며, [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이다.
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=== 최댓값의 존재를 증명 === [math(\mathbb T = \{f(x)|x\in[a, b]\})]는 위 증명에 의해 유계이고, 상한 [math(M=\sup \mathbb T)]이 존재한다. 다음 함수를 생각해보자. >[math(g(x) = \displaystyle\frac 1 {M-f(x)})] 함수 [math(g(x))]는 [math(M=f(x))]인 경우를 제외하면 유계이므로 [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이라 하자. [math(g(x))]는 [math([a, b])]에서 연속이므로 [math(\forall\epsilon>0 \ \exists x_1 \in[a,b]\ s.t.\ M-\epsilon<f(x_1)<M \equiv 0<M-f(x_1)<\epsilon)]이다. 따라서 [math(g(x_1))]는 [math(\displaystyle\frac 1 {M-f(x_1)} > \displaystyle\frac 1 \epsilon )]이고, [math(\epsilon\to 0^+)]이면 [math(g(x_1))]은 발산하며, [math(\not\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]라는 가정이 모순임을 알 수 있다. 따라서 [math(\exists c \ s.t.\ f(c)=M)]이다.
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