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칸토어의 정리
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[[분류:가져온 문서/오메가]] [[외부:https://pbs.twimg.com/media/D2bqrrPXcAQFMG3.jpg:large|width=500]] Cantor's theorem 집합론과 관련된 기초적 정리 중 하나로, 어떤 집합과 그 [[멱집합]]은 대등할 수 없다는 내용의 정리이다. == 진술 == [math(A)]가 집합이고 [math(\mathcal{P}(A))]가 그 멱집합이라 하자. 이 때 전단사 함수 [math(f:A\to \mathcal{P}(A))]는 존재하지 않는다. == 증명 == 전단사 [math(f:A\to \mathcal{P}(A))]가 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 [math(R\in\mathcal{P}(A))]를 ><math>R=\{x\in X \mid x\notin f(x)\}</math> 으로 정의하자. [math(f)]가 전사이므로, 어떤 [math(y\in X)]가 존재해 [math(f(y)=R)]이여야 한다. 만약 [math(y\in R)]이면 [math(R)]의 정의에 의해 [math(y\notin f(y)=R)]이므로 모순이다. 만약 [math(y\notin R)]이면 [math(y\notin f(y))]가 되므로 [math(R)]의 정의에 의해 [math(y\in R)]이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 [math(y\in R)] 혹은 [math(y\notin R)] 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 [math(f)]가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다. == 영상 == [youtube(KhVFBuPoSTI)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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[[분류:가져온 문서/오메가]] [[외부:https://pbs.twimg.com/media/D2bqrrPXcAQFMG3.jpg:large|width=500]] Cantor's theorem 집합론과 관련된 기초적 정리 중 하나로, 어떤 집합과 그 [[멱집합]]은 대등할 수 없다는 내용의 정리이다. == 진술 == [math(A)]가 집합이고 [math(\mathcal{P}(A))]가 그 멱집합이라 하자. 이 때 전단사 함수 [math(f:A\to \mathcal{P}(A))]는 존재하지 않는다. == 증명 == 전단사 [math(f:A\to \mathcal{P}(A))]가 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 [math(R\in\mathcal{P}(A))]를 ><math>R=\{x\in X \mid x\notin f(x)\}</math> 으로 정의하자. [math(f)]가 전사이므로, 어떤 [math(y\in X)]가 존재해 [math(f(y)=R)]이여야 한다. 만약 [math(y\in R)]이면 [math(R)]의 정의에 의해 [math(y\notin f(y)=R)]이므로 모순이다. 만약 [math(y\notin R)]이면 [math(y\notin f(y))]가 되므로 [math(R)]의 정의에 의해 [math(y\in R)]이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 [math(y\in R)] 혹은 [math(y\notin R)] 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 [math(f)]가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다. == 영상 == [youtube(KhVFBuPoSTI)] [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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