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Cantor's theorem
집합론과 관련된 기초적 정리 중 하나로, 어떤 집합과 그 멱집합은 대등할 수 없다는 내용의 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
A가 집합이고 \\mathcal{P}(A)가 그 멱집합이라 하자. 이 때 전단사 함수 f:A\\to \\mathcal{P}(A)는 존재하지 않는다.
2. 증명 ✎ ⊖
전단사 f:A\\to \\mathcal{P}(A)가 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 R\\in\\mathcal{P}(A)를
으로 정의하자. f가 전사이므로, 어떤 y\\in X가 존재해 f(y)=R이여야 한다. 만약 y\\in R이면 R의 정의에 의해 y\\notin f(y)=R이므로 모순이다. 만약 y\\notin R이면 y\\notin f(y)가 되므로 R의 정의에 의해 y\\in R이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 y\\in R 혹은 y\\notin R 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 f가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다.
R=\\{x\\in X \\mid x\\notin f(x)\\}
으로 정의하자. f가 전사이므로, 어떤 y\\in X가 존재해 f(y)=R이여야 한다. 만약 y\\in R이면 R의 정의에 의해 y\\notin f(y)=R이므로 모순이다. 만약 y\\notin R이면 y\\notin f(y)가 되므로 R의 정의에 의해 y\\in R이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 y\\in R 혹은 y\\notin R 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 f가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다.
