칸토어의 정리

최근 수정 시각 : 2024-10-27 18:38:44 | 조회수 : 35

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Cantor's theorem

집합론과 관련된 기초적 정리 중 하나로, 어떤 집합과 그 멱집합은 대등할 수 없다는 내용의 정리이다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 영상

1. 진술

AA가 집합이고 P(A)\mathcal{P}(A)가 그 멱집합이라 하자. 이 때 전단사 함수 f:AP(A)f:A\to \mathcal{P}(A)는 존재하지 않는다.

2. 증명

전단사 f:AP(A)f:A\to \mathcal{P}(A)가 존재한다고 가정하자. 이 때 집합 RP(A)R\in\mathcal{P}(A)
R={xXxf(x)}R=\{x\in X \mid x\notin f(x)\}

으로 정의하자. ff가 전사이므로, 어떤 yXy\in X가 존재해 f(y)=Rf(y)=R이여야 한다. 만약 yRy\in R이면 RR의 정의에 의해 yf(y)=Ry\notin f(y)=R이므로 모순이다. 만약 yRy\notin R이면 yf(y)y\notin f(y)가 되므로 RR의 정의에 의해 yRy\in R이다. 따라서 이 경우에도 모순이다. 하지만 yRy\in R 혹은 yRy\notin R 둘 중 하나는 참이여야 한다. 따라서 전사함수 ff가 존재한다는 전제가 거짓이여야 한다.

3. 영상



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