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어떤 집합의 멱집합(Power set)이란 그 집합의 부분집합들을 모두 모아서 만든 집합을 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
X가 집합일 때, 그 멱집합 \\mathcal{P}(X)는
\\mathcal{P}(X) =\\{A : A\\subset X\\}
로 정의된다. 멱집합의 존재성은 대체로 멱집합 공리에 의해 보장된다.
\\mathcal{P}(X) =\\{A : A\\subset X\\}
로 정의된다. 멱집합의 존재성은 대체로 멱집합 공리에 의해 보장된다.
2. 예시 ✎ ⊖
집합 \\{1,수학,네이버\\}의 멱집합은 \\{∅, \\{1\\}, \\{수학\\}, \\{네이버\\}, \\{1,수학\\}, \\{수학,네이버\\}, \\{네이버,1\\}, \\{1,수학,네이버\\}\\}이다.
3. 성질 ✎ ⊖
- X가 농도 n의 유한집합이면 \\mathcal{P}(X)의 농도는 2^n이다.
- 임의의 집합은 그 멱집합보다 항상 작은 농도를 갖는다. (칸토어의 정리)
- 임의의 집합 X에 대해 \\mathcal{P}(X)는 포함관계에 의해 반순서집합, 특히 완비 속을 이룬다.
4. 보기 ✎ ⊖
- 칸토어의 정리
