케일리-해밀턴 정리 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Cayley–Hamilton theorem

가환환 상의 정사각행렬이 그것의 특성 방정식을 만족한다는 정리이다.

== 정의 ==
[math(n)]차 정사각행렬 <math>A</math>와 [math(n)]차 단위행렬 [math(I_n)]에 대해, <math>A</math>의 특성 방정식 [math(p(\lambda))]은 
><math>p(\lambda):=\det(\lambda I_n-A)=0</math> (또는, <math>\det(A-\lambda I_n)=0</math>)
으로 정의된다. 이 때 좌변은 <math>\lambda</math>에 대한 [math(n)]차 다항식이다. 케일리-해밀턴 정리는 다음을 만족한다는 정리이다.
><math>p(A)=O</math>
이 정리를 이용해서 <math>A^n</math>을 더 낮은 차수의 거듭제곱들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

== 증명 ==
케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
>가환환 A과 n개의 생성원을 가진 <math>A</math>-[[가군]] <math>M</math>, 그리고 그것의 자기준동형사상 <math>\varphi</math>에 대해 <math>A</math>의 아이디얼 <math>I</math>가 <math>\varphi(M) \subset IM</math>을 만족하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0</math>을 만족시키는 <math>a_i \in I^i (i=1,2,...,n)</math>이 존재한다.

이 명제는 다음과 같이 증명된다.

>M의 생성원들을 <math>m_1, m_2,, ..., m_n</math>이라고 하면 <math>\varphi(m_i) \in IM</math>이므로 <math>\varphi(m_i) = \sum a_{ij}m_j (a_{ij} \in I)</math>로 둘 수 있고 이를 정리하면 <math>\sum(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})m_j=0</math>이 된다. 여기서 <math>D=(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})</math>이라 하면 <math>\det(D)=0</math>임을 알 수 있고 이를 전개하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0\ (a_i \in I^i (i=1,2,...,n))</math>꼴의 식을 얻을 수 있다.

위와 같은 증명 방식을 '행렬식 기교'(Determinant Trick)라고 하며 나카야마의 보조 정리나 정수적 폐포의 환 구조 증명에도 사용된다.

===잘못된 증명===
><math>\det(\lambda I_n-A)=0</math>에서 <math>\lambda</math>에 <math>A</math>를 대입하면 <math>\det(A-A)=0</math>이니 성립한다.<br />
이와 같은 증명은 '''잘못된 것'''이다. [math(λ)]는 스칼라인데 여기에 [math(A)]를 마음대로 대입할 수 없다.

== 예시 ==
=== 2차 정사각행렬 ===
2차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리는 대부분의 고등학생이 알고 있는 정리로 다음과 같다.
><math>A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}</math> 는 <math>A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O</math> 를 만족한다.

====적용====
[math(A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix})] 라 하자. 그러면 [math(A-\lambda I = \begin{bmatrix}a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{bmatrix})] 이고

[math(p(\lambda)=\det(A-\lambda I) = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0)] 이다. [math((∵ \det A_{2\times 2} = ad-bc))]

양변에 [math(I_2 = E)]를 곱한 후 케일리-해밀턴 정리에 의해 [math(p(A)=O)]이 성립함을 적용하면 우리들이 아는 정리와 같다.

===3차 정사각행렬===
같은 방법으로 3차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리를 나타내면 다음과 같다. 
><math>A=\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g &h&i\end{bmatrix}</math> 는 [math(-A^3+(a+e+i)A^2-(ae-bd+ai-cg+ei-fh)A+(aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg)E=O)] 를 만족한다.

== 보기 ==
* 고유 값
* 고유 벡터

== 영상 ==
[youtube(8g_MpsYqLf8)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)