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Cayley–Hamilton theorem
가환환 상의 정사각행렬이 그것의 특성 방정식을 만족한다는 정리이다.
1. 정의 ✎ ⊖
n차 정사각행렬 A와 n차 단위행렬 I_n에 대해, A의 특성 방정식 p(\\lambda)은
으로 정의된다. 이 때 좌변은 \\lambda에 대한 n차 다항식이다. 케일리-해밀턴 정리는 다음을 만족한다는 정리이다.
이 정리를 이용해서 A^n을 더 낮은 차수의 거듭제곱들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
p(\\lambda):=\\det(\\lambda I_n-A)=0 (또는, \\det(A-\\lambda I_n)=0)
으로 정의된다. 이 때 좌변은 \\lambda에 대한 n차 다항식이다. 케일리-해밀턴 정리는 다음을 만족한다는 정리이다.
p(A)=O
이 정리를 이용해서 A^n을 더 낮은 차수의 거듭제곱들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
2. 증명 ✎ ⊖
케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 명제는 다음과 같이 증명된다.
위와 같은 증명 방식을 '행렬식 기교'(Determinant Trick)라고 하며 나카야마의 보조 정리나 정수적 폐포의 환 구조 증명에도 사용된다.
가환환 A과 n개의 생성원을 가진 A-가군 M, 그리고 그것의 자기준동형사상 \\varphi에 대해 A의 아이디얼 I가 \\varphi(M) \\subset IM을 만족하면 \\varphi^n+a_1\\varphi^{n-1}+\\cdots+a_{n-1}\\varphi+a_n=0을 만족시키는 a_i \\in I^i (i=1,2,...,n)이 존재한다.
이 명제는 다음과 같이 증명된다.
M의 생성원들을 m_1, m_2,, ..., m_n이라고 하면 \\varphi(m_i) \\in IM이므로 \\varphi(m_i) = \\sum a_{ij}m_j (a_{ij} \\in I)로 둘 수 있고 이를 정리하면 \\sum(\\delta_{ij}\\varphi-a_{ij})m_j=0이 된다. 여기서 D=(\\delta_{ij}\\varphi-a_{ij})이라 하면 \\det(D)=0임을 알 수 있고 이를 전개하면 \\varphi^n+a_1\\varphi^{n-1}+\\cdots+a_{n-1}\\varphi+a_n=0\\ (a_i \\in I^i (i=1,2,...,n))꼴의 식을 얻을 수 있다.
위와 같은 증명 방식을 '행렬식 기교'(Determinant Trick)라고 하며 나카야마의 보조 정리나 정수적 폐포의 환 구조 증명에도 사용된다.
2.1. 잘못된 증명 ✎ ⊖
\\det(\\lambda I_n-A)=0에서 \\lambda에 A를 대입하면 \\det(A-A)=0이니 성립한다.<br />
이와 같은 증명은 잘못된 것이다. λ는 스칼라인데 여기에 A를 마음대로 대입할 수 없다.
3. 예시 ✎ ⊖
3.1. 2차 정사각행렬 ✎ ⊖
2차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리는 대부분의 고등학생이 알고 있는 정리로 다음과 같다.
A=\\begin{bmatrix}a & b\\\\ c & d\\end{bmatrix} 는 A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O 를 만족한다.
3.1.1. 적용 ✎ ⊖
A=\\begin{bmatrix}a & b\\\\ c & d\\end{bmatrix} 라 하자. 그러면 A-\\lambda I = \\begin{bmatrix}a-\\lambda & b\\\\ c & d-\\lambda \\end{bmatrix} 이고
p(\\lambda)=\\det(A-\\lambda I) = (a-\\lambda)(d-\\lambda)-bc=\\lambda^2-(a+d)\\lambda+(ad-bc)=0 이다. (∵ \\det A_{2\\times 2} = ad-bc)
양변에 I_2 = E를 곱한 후 케일리-해밀턴 정리에 의해 p(A)=O이 성립함을 적용하면 우리들이 아는 정리와 같다.
p(\\lambda)=\\det(A-\\lambda I) = (a-\\lambda)(d-\\lambda)-bc=\\lambda^2-(a+d)\\lambda+(ad-bc)=0 이다. (∵ \\det A_{2\\times 2} = ad-bc)
양변에 I_2 = E를 곱한 후 케일리-해밀턴 정리에 의해 p(A)=O이 성립함을 적용하면 우리들이 아는 정리와 같다.
3.2. 3차 정사각행렬 ✎ ⊖
같은 방법으로 3차 정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리를 나타내면 다음과 같다.
A=\\begin{bmatrix}a & b & c\\\\ d & e & f \\\\ g &h&i\\end{bmatrix} 는 -A^3+(a+e+i)A^2-(ae-bd+ai-cg+ei-fh)A+(aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg)E=O 를 만족한다.
4. 보기 ✎ ⊖
- 고유 값
- 고유 벡터
