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케일리-해밀턴 정리
(편집) (2)
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464,1322
== 증명 == 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. >가환환 A과 n개의 생성원을 가진 <math>A</math>-[[가군]] <math>M</math>, 그리고 그것의 자기준동형사상 <math>\varphi</math>에 대해 <math>A</math>의 아이디얼 <math>I</math>가 <math>\varphi(M) \subset IM</math>을 만족하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0</math>을 만족시키는 <math>a_i \in I^i (i=1,2,...,n)</math>이 존재한다. 이 명제는 다음과 같이 증명된다. >M의 생성원들을 <math>m_1, m_2,, ..., m_n</math>이라고 하면 <math>\varphi(m_i) \in IM</math>이므로 <math>\varphi(m_i) = \sum a_{ij}m_j (a_{ij} \in I)</math>로 둘 수 있고 이를 정리하면 <math>\sum(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})m_j=0</math>이 된다. 여기서 <math>D=(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})</math>이라 하면 <math>\det(D)=0</math>임을 알 수 있고 이를 전개하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0\ (a_i \in I^i (i=1,2,...,n))</math>꼴의 식을 얻을 수 있다. 위와 같은 증명 방식을 '행렬식 기교'(Determinant Trick)라고 하며 나카야마의 보조 정리나 정수적 폐포의 환 구조 증명에도 사용된다.
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== 증명 == 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. >가환환 A과 n개의 생성원을 가진 <math>A</math>-[[가군]] <math>M</math>, 그리고 그것의 자기준동형사상 <math>\varphi</math>에 대해 <math>A</math>의 아이디얼 <math>I</math>가 <math>\varphi(M) \subset IM</math>을 만족하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0</math>을 만족시키는 <math>a_i \in I^i (i=1,2,...,n)</math>이 존재한다. 이 명제는 다음과 같이 증명된다. >M의 생성원들을 <math>m_1, m_2,, ..., m_n</math>이라고 하면 <math>\varphi(m_i) \in IM</math>이므로 <math>\varphi(m_i) = \sum a_{ij}m_j (a_{ij} \in I)</math>로 둘 수 있고 이를 정리하면 <math>\sum(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})m_j=0</math>이 된다. 여기서 <math>D=(\delta_{ij}\varphi-a_{ij})</math>이라 하면 <math>\det(D)=0</math>임을 알 수 있고 이를 전개하면 <math>\varphi^n+a_1\varphi^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varphi+a_n=0\ (a_i \in I^i (i=1,2,...,n))</math>꼴의 식을 얻을 수 있다. 위와 같은 증명 방식을 '행렬식 기교'(Determinant Trick)라고 하며 나카야마의 보조 정리나 정수적 폐포의 환 구조 증명에도 사용된다.
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