코시의 적분공식 (편집)

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수학에서 코시의 적분 공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.

== 진술 ==
[math(\Gamma)]를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. [math(f)]가 [math(\Gamma)]를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 [math(z_0)]이 [math(\Gamma)] 내부의 임의의 점이라면,

[math(f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz)]

이다. 더욱이 [math(f)]의 [math(n)]계도함수는

[math(f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz)]

로 나타낼 수 있다.

== 증명 ==

== 증명 ==
[math(\dfrac{f(z)}{z-z_0})]는 [math(z_0)]을 제외한 [math(D)] 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 [math(\Gamma)]는 양의 방향을 가지는 원 [math(C_r : |z-z_0|=r)]로 연속적 변형이 가능하다. 따라서
><math> \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz</math>
이다. 이때
><math>\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math>
이고, [math(\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i)]이므로,
><math>\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math>
이다. [math(M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\})]이라 하자. 그러면
><math>\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r}</math>
이므로
><math>\left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r</math>
이다. [math(f)]는 )]z_0)]에서 연속이므로, [math(r\to 0)]일 때 [math(M_r \to 0)]이다. 따라서
><math>\lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0</math>
이고, 원하는 결론을 얻는다.

== 예시 ==
[math(C)]를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 [math(|z|=2)]라고 할 때, [math(\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz)]의 값을 구하자.

[math(f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4})]로 정의하면, [math(\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz)]이고 [math(f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2})]이다.

따라서 [math(\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2})]를 얻는다.

== 영상 ==
[youtube(d8IQp7k_iQc)]

== 참고문헌 ==
* Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746

== 보기 ==
* [[리우빌의 정리]]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://archive.ph/EB0Kx|링크]])]

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