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수학에서 코시의 적분 공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
\\Gamma를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. f가 \\Gamma를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 z_0이 \\Gamma 내부의 임의의 점이라면,
f(z_0)=\\frac{1}{2\\pi i}\\int_{\\Gamma} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz
이다. 더욱이 f의 n계도함수는
f^{(n)}(z_0)=\\frac{n!}{2\\pi i}\\int_{\\Gamma}\\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
로 나타낼 수 있다.
f(z_0)=\\frac{1}{2\\pi i}\\int_{\\Gamma} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz
이다. 더욱이 f의 n계도함수는
f^{(n)}(z_0)=\\frac{n!}{2\\pi i}\\int_{\\Gamma}\\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz
로 나타낼 수 있다.
2. 증명 ✎ ⊖
3. 증명 ✎ ⊖
\\dfrac{f(z)}{z-z_0}는 z_0을 제외한 D 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 \\Gamma는 양의 방향을 가지는 원 C_r : |z-z_0|=r로 연속적 변형이 가능하다. 따라서
이다. 이때
이고, \\displaystyle \\int_{C_r} \\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\\pi i이므로,
이다. M_r=\\max\\{|f(z)-f(z_0)| : z\\; \\mathrm{on}\\; C_r\\}이라 하자. 그러면
이므로
이다. f는 )]z_0)]에서 연속이므로, r\\to 0일 때 M_r \\to 0이다. 따라서
이고, 원하는 결론을 얻는다.
\\int_{\\Gamma} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\\int_{C_r} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz
이다. 이때
\\int_{C_r} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\\int_{C_r} \\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\\int_{C_r} \\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz
이고, \\displaystyle \\int_{C_r} \\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\\pi i이므로,
\\int_{\\Gamma} \\frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\\pi i + \\int_{C_r} \\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz
이다. M_r=\\max\\{|f(z)-f(z_0)| : z\\; \\mathrm{on}\\; C_r\\}이라 하자. 그러면
\\left|\\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\\right|\\le \\frac{M_r}{r}
이므로
\\left|\\int_{C_r} \\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\\right|\\le 2\\pi r \\cdot \\frac{M_r}{r} = 2\\pi M_r
이다. f는 )]z_0)]에서 연속이므로, r\\to 0일 때 M_r \\to 0이다. 따라서
\\lim_{r\\to +0}\\int_{C_r} \\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0
이고, 원하는 결론을 얻는다.
4. 예시 ✎ ⊖
C를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 |z|=2라고 할 때, \\displaystyle \\int_C \\frac{\\sin z}{z^2(z-4)}dz의 값을 구하자.
f(z)=\\dfrac{\\sin z}{z-4}로 정의하면, \\displaystyle \\int_C \\frac{\\sin z}{z^2(z-4)}dz=\\int_C \\frac{f(z)}{z^2}dz이고 f'(z)=\\dfrac{(z-4)\\cos z-\\sin z}{(z-4)^2}이다.
따라서 \\displaystyle \\int_C \\frac{\\sin z}{z^2(z-4)}dz=\\int_C \\frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\\pi i=-\\dfrac{\\pi i}{2}를 얻는다.
f(z)=\\dfrac{\\sin z}{z-4}로 정의하면, \\displaystyle \\int_C \\frac{\\sin z}{z^2(z-4)}dz=\\int_C \\frac{f(z)}{z^2}dz이고 f'(z)=\\dfrac{(z-4)\\cos z-\\sin z}{(z-4)^2}이다.
따라서 \\displaystyle \\int_C \\frac{\\sin z}{z^2(z-4)}dz=\\int_C \\frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\\pi i=-\\dfrac{\\pi i}{2}를 얻는다.
5. 영상 ✎ ⊖
6. 참고문헌 ✎ ⊖
- Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746
