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Liouvile's theorem
복소해석함수와 관련된 복소해석학의 주요 정리 중 하나이다.
1. 진술 ✎ ⊖
f:\\Bbb{C}\\to\\Bbb{C}가 복소해석적이라 하자. 만약 f가 유계이면, f는 상수함수이다.
2. 증명 ✎ ⊖
우선, 코시의 적분 공식에 의해, z를 내부에 포함하고 있는 임의의 폐경로 C에 대해
f'(z) = \\frac{1}{2\\pi i} \\oint_C \\frac{f(\\zeta)}{(\\zeta - z)^2} d\\zeta
이다. f가 유계이므로, 어떤 양수 M이 있어 |f(\\zeta)|<M이며, C가 z를 중심으로 하고 반경이 r인 원을 반시계 방향으로 돌아가는 경로라 하면
|f'(z)|=\\left| \\frac{1}{2\\pi}\\oint_C \\frac{f(\\zeta)}{(\\zeta-z)^2}d\\zeta \\right|\\le \\frac{1}{2\\pi} \\oint_C \\frac{|f(\\zeta)|}{|\\zeta-z|^2}|d\\zeta|\\le \\frac{1}{2\\pi} \\oint_C \\frac{M}{r^2} |d\\zeta|=\\frac{M}{r}
위에서 r\\to\\infty로의 극한을 취하면 f'(z)=0이란 결과를 얻는다. 전 구간에서 항등적으로 f'(z)=0 일 필요충분조건은 f가 상수함수가 되는 것이다.
f'(z) = \\frac{1}{2\\pi i} \\oint_C \\frac{f(\\zeta)}{(\\zeta - z)^2} d\\zeta
이다. f가 유계이므로, 어떤 양수 M이 있어 |f(\\zeta)|<M이며, C가 z를 중심으로 하고 반경이 r인 원을 반시계 방향으로 돌아가는 경로라 하면
|f'(z)|=\\left| \\frac{1}{2\\pi}\\oint_C \\frac{f(\\zeta)}{(\\zeta-z)^2}d\\zeta \\right|\\le \\frac{1}{2\\pi} \\oint_C \\frac{|f(\\zeta)|}{|\\zeta-z|^2}|d\\zeta|\\le \\frac{1}{2\\pi} \\oint_C \\frac{M}{r^2} |d\\zeta|=\\frac{M}{r}
위에서 r\\to\\infty로의 극한을 취하면 f'(z)=0이란 결과를 얻는다. 전 구간에서 항등적으로 f'(z)=0 일 필요충분조건은 f가 상수함수가 되는 것이다.
