페아노 공리계 (편집)

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Peano's axioms

주세페 페아노가 제안한 [[자연수]] 체계에 관한 공리이다. 1889년 그의 저서인 Arithmetices principia, nova methodo exposita에서 제시하였다.

== 공리 ==
다음 다섯 가지 공리를 만족하는 구조 [math(\mathbb{N})]의 원소를 [[자연수]]라고 한다.
* [math(0\in\mathbb{N})] 
* [math(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n'\in\mathbb{N})]
* [math(\not\exists n \ s.t. \ n' = 0)][* [math(0,\ 0',\ (0')',\ ((0')')'\cdots)] 와 같이 자연수를 한없이 나열할 수 있음을 보장한다. 즉, [math(\mathbb N)]은 무한집합이다.]
* [math(\forall m, n \in\mathbb{N}, \ m' = n' \Rightarrow m=n)][* [math(f(n)=n')]이라 정의하면 [math(f)]는 단사함수이다.]
* [math(\forall \mathbb{S}\subset\mathbb{N}: \ (0\in\mathbb{S})\wedge(n\in\mathbb{S}\rightarrow n'\in\mathbb{S})\Rightarrow \mathbb S = \mathbb N)][* [[수학적 귀납법]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.]
여기서 [math(n')]은 [math(n)] 다음 자연수라는 의미를 가지며 [math(n'=n+1)]라 할 수 있다. 그리고 마지막 공리는 2차 공리이고, 따라서 여러 메타수학적인 이유로 다음과 같은 약화된 1차 공리꼴을 사용하는 경우가 많다:
* 임의의 문장 [math(\varphi(n))]에 대해 [math(\varphi(0)\wedge(\varphi(n)\rightarrow \varphi(n'))\Rightarrow \mathbb \forall n\varphi(n))]

== 산술 ==
자연수 구조에 대해 다음과 같이 덧셈과 곱셈 연산을 정의할 수 있으며, [math((\mathbb{N},+,\cdot))]은 [[교환법칙|가환]] 반환(Commutative semiring)을 이룬다. 아래의 법칙들은 [[수학적 귀납법]]으로 증명할 수 있다.

=== 덧셈 ===
자연수의 덧셈은 임의의 [math(x,\ y\in \mathbb N)]에 대해 [math(x'+y=(x+y)')]으로 정의되며, 다음이 성립한다.
* [math(x+y=y+x)] (교환법칙)
* [math(x+(y+z)=(x+y)+z)] (결합법칙)
* [math(x+y=y+z ⇒ x=y)] (소거법칙)
따라서, 자연수 집합은 덧셈에 대해 [[교환법칙|가환]] 반군을 이룬다.

=== 곱셈 ===
자연수의 덧셈은 임의의 [math(x,\ y\in \mathbb N)]에 대해 [math(1x = x,\ x'y=xy+y)]로 정의되며, 다음이 성립한다.
* [math(xy=yx)] (교환법칙)
* [math(x(yz) = (xy)z)] (결합법칙)
* [math(xz=yz ⇒ x=y)] (소거법칙)
* [math(x(y+z)=xy+xz)] (분배법칙)
따라서, 자연수 집합은 곱셈에 대해 [[교환법칙|가환]][[모노이드]]를 이룬다.

== 순서 ==
자연수 [math(x,\ y)] 와 적당한 [math(z\in \mathbb N)]가 있어 다음과 같이 [math(\mathbb N)]의 순서가 정의된다.
* [math(x=y+z ⇔ x ≥ y)]
따라서, 자연수 [math(a,\ b,\ c)] 에 대해 다음이 성립하므로 자연수 집합은 [math(≤)]에 대한 [[전순서집합|전순서]]이다.
* [math(a≤b ∧ b≤c ⇒ a≤c)]
* [math(a<b,\ a=b,\ a>b)] 에서 하나가 성립한다.

== 자연수 체계의 유일성 ==
페아노의 공리를 모두 만족하는 두 구조 [math(\mathbb{N},\ \mathbb{N}')] 은 동형이다. 다시 말해, 다음과 같은 전단사 [math(f:\mathbb{N}\to\mathbb {N}')]이 존재한다.

>[math(f(0)=0',\ f(n+1)=f(n)+1')]

== 참고 문헌 ==
* Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.

== 영상 ==
[youtube(AoL2UMVIAmE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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