페아노 공리계

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Peano's axioms

주세페 페아노가 제안한 자연수 체계에 관한 공리이다. 1889년 그의 저서인 Arithmetices principia, nova methodo exposita에서 제시하였다.

목차

1. 공리
2. 산술
2.1. 덧셈
2.2. 곱셈
3. 순서
4. 자연수 체계의 유일성
5. 참고 문헌
6. 영상

1. 공리 _{✎ ⊖}

다음 다섯 가지 공리를 만족하는 구조 \\mathbb{N}의 원소를 자연수라고 한다.

0\\in\\mathbb{N}
n\\in\\mathbb{N}\\Rightarrow n'\\in\\mathbb{N}
\\not\\exists n \\ s.t. \\ n' = 0⁽¹⁾
\\forall m, n \\in\\mathbb{N}, \\ m' = n' \\Rightarrow m=n⁽²⁾
\\forall \\mathbb{S}\\subset\\mathbb{N}: \\ (0\\in\\mathbb{S})\\wedge(n\\in\\mathbb{S}\\rightarrow n'\\in\\mathbb{S})\\Rightarrow \\mathbb S = \\mathbb N⁽³⁾

여기서 n'은 n 다음 자연수라는 의미를 가지며 n'=n+1라 할 수 있다. 그리고 마지막 공리는 2차 공리이고, 따라서 여러 메타수학적인 이유로 다음과 같은 약화된 1차 공리꼴을 사용하는 경우가 많다:

임의의 문장 \\varphi(n)에 대해 \\varphi(0)\\wedge(\\varphi(n)\\rightarrow \\varphi(n'))\\Rightarrow \\mathbb \\forall n\\varphi(n)

2. 산술 _{✎ ⊖}

자연수 구조에 대해 다음과 같이 덧셈과 곱셈 연산을 정의할 수 있으며, (\\mathbb{N},+,\\cdot)은 가환 반환(Commutative semiring)을 이룬다. 아래의 법칙들은 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

2.1. 덧셈 _{✎ ⊖}

자연수의 덧셈은 임의의 x,\\ y\\in \\mathbb N에 대해 x'+y=(x+y)'으로 정의되며, 다음이 성립한다.

x+y=y+x (교환법칙)
x+(y+z)=(x+y)+z (결합법칙)
x+y=y+z ⇒ x=y (소거법칙)

따라서, 자연수 집합은 덧셈에 대해 가환 반군을 이룬다.

2.2. 곱셈 _{✎ ⊖}

자연수의 덧셈은 임의의 x,\\ y\\in \\mathbb N에 대해 1x = x,\\ x'y=xy+y로 정의되며, 다음이 성립한다.

xy=yx (교환법칙)
x(yz) = (xy)z (결합법칙)
xz=yz ⇒ x=y (소거법칙)
x(y+z)=xy+xz (분배법칙)

따라서, 자연수 집합은 곱셈에 대해 가환 모노이드를 이룬다.

3. 순서 _{✎ ⊖}

자연수 x,\\ y 와 적당한 z\\in \\mathbb N가 있어 다음과 같이 \\mathbb N의 순서가 정의된다.

x=y+z ⇔ x ≥ y

따라서, 자연수 a,\\ b,\\ c 에 대해 다음이 성립하므로 자연수 집합은 ≤에 대한 전순서이다.

a≤b ∧ b≤c ⇒ a≤c
a<b,\\ a=b,\\ a>b 에서 하나가 성립한다.

4. 자연수 체계의 유일성 _{✎ ⊖}

페아노의 공리를 모두 만족하는 두 구조 \\mathbb{N},\\ \\mathbb{N}' 은 동형이다. 다시 말해, 다음과 같은 전단사 f:\\mathbb{N}\\to\\mathbb {N}'이 존재한다.

f(0)=0',\\ f(n+1)=f(n)+1'

5. 참고 문헌 _{✎ ⊖}

Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.

6. 영상 _{✎ ⊖}

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(1) 0,\\ 0',\\ (0')',\\ ((0')')'\\cdots 와 같이 자연수를 한없이 나열할 수 있음을 보장한다. 즉, \\mathbb N은 무한집합이다.

(2) f(n)=n'이라 정의하면 f는 단사함수이다.

(3) 수학적 귀납법이 올바르다는 것을 보장해 준다.

1. 공리 ✎ ⊖

2. 산술 ✎ ⊖

2.1. 덧셈 ✎ ⊖

2.2. 곱셈 ✎ ⊖

3. 순서 ✎ ⊖

4. 자연수 체계의 유일성 ✎ ⊖

5. 참고 문헌 ✎ ⊖

6. 영상 ✎ ⊖