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페아노 공리계
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== 공리 == 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 구조 [math(\mathbb{N})]의 원소를 [[자연수]]라고 한다. * [math(0\in\mathbb{N})] * [math(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n'\in\mathbb{N})] * [math(\not\exists n \ s.t. \ n' = 0)][* [math(0,\ 0',\ (0')',\ ((0')')'\cdots)] 와 같이 자연수를 한없이 나열할 수 있음을 보장한다. 즉, [math(\mathbb N)]은 무한집합이다.] * [math(\forall m, n \in\mathbb{N}, \ m' = n' \Rightarrow m=n)][* [math(f(n)=n')]이라 정의하면 [math(f)]는 단사함수이다.] * [math(\forall \mathbb{S}\subset\mathbb{N}: \ (0\in\mathbb{S})\wedge(n\in\mathbb{S}\rightarrow n'\in\mathbb{S})\Rightarrow \mathbb S = \mathbb N)][* [[수학적 귀납법]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.] 여기서 [math(n')]은 [math(n)] 다음 자연수라는 의미를 가지며 [math(n'=n+1)]라 할 수 있다. 그리고 마지막 공리는 2차 공리이고, 따라서 여러 메타수학적인 이유로 다음과 같은 약화된 1차 공리꼴을 사용하는 경우가 많다: * 임의의 문장 [math(\varphi(n))]에 대해 [math(\varphi(0)\wedge(\varphi(n)\rightarrow \varphi(n'))\Rightarrow \mathbb \forall n\varphi(n))]
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== 공리 == 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 구조 [math(\mathbb{N})]의 원소를 [[자연수]]라고 한다. * [math(0\in\mathbb{N})] * [math(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n'\in\mathbb{N})] * [math(\not\exists n \ s.t. \ n' = 0)][* [math(0,\ 0',\ (0')',\ ((0')')'\cdots)] 와 같이 자연수를 한없이 나열할 수 있음을 보장한다. 즉, [math(\mathbb N)]은 무한집합이다.] * [math(\forall m, n \in\mathbb{N}, \ m' = n' \Rightarrow m=n)][* [math(f(n)=n')]이라 정의하면 [math(f)]는 단사함수이다.] * [math(\forall \mathbb{S}\subset\mathbb{N}: \ (0\in\mathbb{S})\wedge(n\in\mathbb{S}\rightarrow n'\in\mathbb{S})\Rightarrow \mathbb S = \mathbb N)][* [[수학적 귀납법]]이 올바르다는 것을 보장해 준다.] 여기서 [math(n')]은 [math(n)] 다음 자연수라는 의미를 가지며 [math(n'=n+1)]라 할 수 있다. 그리고 마지막 공리는 2차 공리이고, 따라서 여러 메타수학적인 이유로 다음과 같은 약화된 1차 공리꼴을 사용하는 경우가 많다: * 임의의 문장 [math(\varphi(n))]에 대해 [math(\varphi(0)\wedge(\varphi(n)\rightarrow \varphi(n'))\Rightarrow \mathbb \forall n\varphi(n))]
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