(+)분류 : 가져온 문서/오메가
自然數 / Natural number
자연수 집합의 원소를 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계(Peano's axioms)를 만족하는 체계를 자연수 체계라 부른다:
편의에 따라 덧셈의 항등원 0을 자연수에 포함시킬 수 있는데, 그런 경우에는 위와 같이 정의된 자연수를 양의 정수라고 한다. 0이 포함된 자연수는 \\mathbb N_0나 \\bar{\\mathbb N} 등으로 표기한다.
- 1\\in\\mathbb{N}
- n\\in\\mathbb{N}\\Rightarrow n' = n+1\\in\\mathbb{N}
- \\not\\exists n \\text{ s.t. } n' = 1
- \\forall m, n \\in\\mathbb{N}, \\ m' = n' \\Rightarrow m=n
- \\forall \\mathbb{S}\\subset\\mathbb{N}: \\ (1\\in\\mathbb{S})\\wedge(n\\in\\mathbb{S}\\rightarrow n'\\in\\mathbb{S})\\Rightarrow \\mathbb S = \\mathbb N
편의에 따라 덧셈의 항등원 0을 자연수에 포함시킬 수 있는데, 그런 경우에는 위와 같이 정의된 자연수를 양의 정수라고 한다. 0이 포함된 자연수는 \\mathbb N_0나 \\bar{\\mathbb N} 등으로 표기한다.
2. 집합론에서의 자연수의 표준 구성 ✎ ⊖
집합을 이용하여 자연수를 다음과 같은 방법으로 정의한다:
- 0:=\\{\\},
- n+1:=n\\cup \\{n\\}, \\quad n \\in\\mathbb N. <ref>n+1:=\\{n\\}으로 정의하기도 한다.</ref>
